奈良女大物理'08[3]

1のように、断面積Sのシリンダーが圧力の大気の中に置かれている。シリンダーの中には質量の無視できるピストンが取り付けられ、シリンダー内をなめらかに動くことができる。ピストンには質量の無視できるバネ(バネ定数k)がつながれており、バネのもう一方の端は天井に固定されている。シリンダーには体積の無視できるくさびがついており、ピストンが底面からの高さよりも下がらないようになっている。ピストンがこのくさびの位置にあるとき、バネの長さは自然長である。このピストンとシリンダーの間には1モルの単原子分子理想気体が入っており、この気体を加熱するために、シリンダーには体積の無視できるヒーターが取り付けられている。気体定数をRとして以下の問いに答えよ。ただし、ピストンとシリンダーは断熱材でできている。
1 シリンダー内の気体の温度がのとき、ピストンはシリンダーの底面から高さの位置にあった。大気の圧力とシリンダー内の気体の温度との間に成り立つ関係式を求めよ。
2 次に、ヒーターによってシリンダー内の気体をゆっくりと加熱したところ、ピストンはシリンダーの底面から高さの位置のままで、くさびに力をおよぼさない状態になった。このときのシリンダー内の気体の温度を求めよ。また、ヒーターによって気体に加えられた熱量RSの中から必要なものを用いて表せ。
3 さらに、問2の状態からゆっくりと気体を加熱したところ、図2のようにピストンはくさびからの高さdの位置まで上昇した。
(1) 気体の圧力をとして、ピストンのつり合いの式を書け。
(2) この過程で気体がした仕事Sdkの中から必要なものを用いて表せ。
(3) この過程で気体に加えられた熱量Sdkの中から必要なものを用いて表せ。

解答 バネつきピストンでは、バネが伸び縮みするときの気体の変化は、定圧変化でも、定積変化でも、等温変化でも、断熱変化でもありません。

1 シリンダー内の気体の圧力として、
状態方程式 ・・・@
くさびがピストンに及ぼす
垂直抗力Nとして、ピストンに働く力のつり合いより、
 ・・・A
ピストンとくさびが接触している条件は、
@より、
......[]

2 Aにおいて、とすると、
状態方程式
......[]
定積モル比熱の式より、
......[]

3(1) ピストンに働く力のつり合い
......[] ・・・B
(2) 気体は、大気圧によるに対する仕事,バネをdだけ押し縮める仕事をします。
......[]
(3)
状態方程式 ・・・C
Bより、

内部エネルギーの変化は、

......[]

追記.バネが縮んでいる間の気体の体積Vは、


Bに代入すると、

これより、バネつきピストンの場合のp-V図は右図のような直線になります。
のとき、
のとき、

(2)気体のした仕事は、p-V図における台形(右図黄色着色部分)の面積として、
と求めることもできます。


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