名大物理'08[1]

1.図1のように宇宙空間を進む探査機が、点Pで探査機からnモルのアルゴンガス(単原子分子気体、1モルの質量)を、探査機の進む方向に瞬間的に噴射した。探査機は点Pで速さがからに減速され、その後、星1のまわりを等速円運動した。ここで、アルゴンガス噴射前の探査機の質量mは星1の質量に比べ充分に小さいものとする。以下の問いに答えよ。
(1) 探査機が星1のまわりを半径hで等速円運動するための速さを求めよ。
(2) 噴射されたアルゴンガスの平均速度の大きさは、星1から見てであった。探査機の速さをからに減速するために噴射されるアルゴンガスのモル数nmを用いて表せ。ただし、噴射による探査機の質量変化も考慮せよ。
(3) 絶対温度Tのアルゴンガスにおける気体分子の熱運動の2乗平均速度を、RTを用いて表せ。
2.図2のように、質量の星2と質量の星3が、点Aを中心に、同じ角速度w で等速円運動している。ここで、星2と星3の距離をL,点Aから星2までの距離をとし、とする。また、星2と星3以外の天体の影響は無視できるものとして以下の問いに答えよ。
(1) 2と星3について、それぞれ遠心力と万有引力のつり合いの式をGLw を用いて表せ。
(2) 距離Lを用いて表し、角速度w GLを用いて表せ。
次に、質量mの探査機を操作し、図3のように、点Aと星3を結ぶ線分上に置き、点Aを中心とする半径xで、星2と星3と同じ角速度w で等速円運動させた。ただし、探査機の質量mは星2,星3の質量に比べ充分に小さいものとし、探査機の操作に伴う質量mの変化は無視できるものとする。
(3) 探査機に働く遠心力mwxを用いて表し、探査機に働く万有引力の合力GmLxを用いて表せ。力の符号は点Aから星3の向きを正とする。
(4) とするとき、点Aと星3を結ぶ線分上では探査機に働く遠心力と万有引力の合力 がゼロとなる位置がの範囲には1つある。その位置を求めるため、合力FGmLxを用いて表せ。さらに、となるxが存在する範囲を次の()()の中から選び、その記号を記せ。
()  ()  ()

解答 1.と2.は独立な問題になっています。2(4)は、物理的な考察の余地もなく、まともに計算しては時間がかかります。勘で答えておく方が良いかも知れません。

1(1) アルゴンガス噴出後の探査機の質量として、探査機が質量の星1から受ける万有引力は、,速さ等速円運動をしている探査機の加速度
探査機の運動方程式
......[]

(2) 探査機のアルゴンガス噴出前の運動量,噴出後は質量mからとなり速さがとなるのでです。
噴出されたアルゴンガスの運動量です。アルゴンガスの運動量が探査機の運動量と同じ向きであることに注意してください。
噴出前後の
運動量保存より、

......[]

(3) アボガドロ数(1モルの物質の分子数)として、アルゴンガス1分子あたりの質量は、1モルの質量なので、速さで運動するアルゴンガス1分子の運動エネルギーは、です。アルゴンガスは単原子分子理想気体であって、これは、ボルツマン定数をkとしてに等しく(気体分子運動論を参照)
より、
......[]

2(1) 2と星3の間に働く万有引力
2が受ける遠心力 (等速円運動を参照),星3の円運動の半径なので、星3が受ける遠心力
2について、力のつり合い ・・・@
3について、力のつり合い ・・・A

(2) @,Aより、
......[]
@に代入すると、
......[]

(3) 探査機に働く遠心力は正方向で、 ......[]
探査機と星2距離なので、探査機が星2から受ける万有引力は負方向で、
探査機と星
3距離なので、探査機が星3から受ける万有引力は正方向で、
よって、
万有引力合力は、
......[]

(4) (2)の結果に代入すると、



......[]
として、で割ると、
右辺をとおいて、のとき、xの大小関係を調べてみます。



よって、となるxが存在する範囲は、であって、() ......[]
追記.問題文に、Fがゼロとなる位置がの範囲には1つある、と書いてあるので、これで良いわけですが、のグラフがにからみつくように変化する複雑な関数だと、上記の事実だけからは何とも言えないことになります。ここでは、一応の変化を確かめておくことにします。
 (微分法の公式合成関数の微分法を参照)
において、なので、です。よって、この範囲では単調減少です(関数の増減を参照)xの方は単調増加なので、
のときのとき
であれば、において、方程式は、の範囲にただ1つの解をもつと断定できます。


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