上智大理工物理'08[4]

図のように、x軸上の点 ()に電荷に電荷の点電荷が固定されている。x軸上の別の点に質量m,電荷q ()の粒子Pを置くことを考える。粒子はx軸上をなめらかに動くことができる。クーロンの法則の比例係数を,無限遠での電位を0とする。
1 ()のとき、の領域での電位は、による電位の和で、と表される。に粒子Pをそっと置くと、Px軸正の方向に動きだし、無限遠でのPの速さは、となる。
2.同じく、 ()の場合を考える。の領域での電位は、と表される。に粒子をそっと置くと、Pの間を往復する運動を始めた。このとき、原点でのPの速さは、となる。
また、のところに粒子Pをそっと置くと、Pは原点を中心に単振動を行い、その周期はとなった。ただし、のとき、次の近似式が成立することを利用せよ。
3.次に、 ()として、の領域で考える。すると、この領域での電位は、と表される。粒子Pにそっと置くと、Px軸正の方向に動きだし、途中において速さが最大となり、最終的に無限遠での速さになる。また、に置いた場合には、粒子Pは無限遠まで遠ざかることはできない。
[ 1 ][ 4 ][ 8 ]の選択肢 a)  b)  c)  d)  e)  f)  g)  h)  i)  j)  k)  l)
[ 2 ][ 5 ][ 6 ][ 10 ]の選択肢 a) 0 b)  c)  d)  e)  f)  g)  h)  i)  j)  k)  l)
[ 3 ][ 7 ]の選択肢 a)  b)  c)  d)  e)  f)  g)  h)
[ 9 ][ 11 ]の選択肢 a) 1 b)  c) 2 d) 3 e)  f) 4 g)  h)  i)  j)

解答 [6][7]の近似の指示がやや不親切で戸惑うかも知れません。必ずしも問題文のヒントを意識する必要はないのですが......

[1] 電荷による電位
電荷による電位
 (g) ......[]

[2][3] における位置エネルギー
 (電位・電圧を参照)
無限遠でのP速さとして、エネルギー保存より、
 [2] (i) [3] (a) ......[]

[4] による電位
による電位
 (f) ......[]

[5] での位置エネルギー
での位置エネルギー
でのP速さとして、エネルギー保存より、

 (g) ......[]

[6][7] P位置xにいるとき、から受けるは、x軸負方向で、
Pから受けるは、x軸正方向で、
Pが受けるは、
P加速度aとして、P運動方程式

これは、角振動数単振動を表しています。周期Tは、
 [6] (j) [7] (g) ......[]

[8] による電位
による電位
 (j) ......[]

[9] P位置xにあるときの速さとすると、このときと、P位置にあるときとのエネルギー保存より、


 ・・・@
これをとおくと、
 (商の微分法を参照)
とすると、
より、
ではでは
よって、において最大で
(関数の増減を参照)最大となります。
において、
速さ最大。 (i) ......[]

[10] @でとすると、
無限遠での速さは、 (f) ......[]

[11] 位置xPを置いたときに無限遠まで遠ざかることはない、ということは、位置xにおける位置エネルギーということです。
[8]の結果より、
 (d) ......[]


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