岐阜大物理'08[1]

次の文を読み、以下の問いに答えよ。
図のように、水平な床に質量
M[kg]の三角柱を横に置く。水平面とq の角をなす三角柱の斜面上を、質量m[kg]の小さな物体(小物体)がすべり落ちる運動について考える。ここで、すべて摩擦を無視できるものとする。また、重力加速度の大きさをgとする。
水平な床に対して動かない
x-y座標系を図のようにとり、原点をPとする。最初、斜面はx-y座標系のx軸に接していた。その後、小物体を点Pにおいて三角柱の斜面上に静かに放したところ、小物体が三角柱の斜面を垂直に押す力(この力をN[N]とする)により、三角柱は水平方向に加速度Aで動き始めた。三角柱の運動方程式は、
MA ア 
となる。次に小物体の運動方程式を、x-y座標系において考える。小物体のx方向についての運動方程式は、
となり、y方向においては、
 イ 
となる。ここで、小物体の加速度のxおよびy成分を、それぞれおよびとした。小物体が常に三角柱に接していることは、小物体のy方向の加速度が三角柱のそれと等しいことを意味している。すなわち、
A× ウ 
1 文中の ア  ウ にあてはまる適当な記号または数式を答えよ。
2 NおよびAを求めよ。
Pから床に落とした垂線の足をHとする。小物体が斜面上をすべり落ち床に到達した。到達地点をQとし、線分QHの長さを求めることにする。そのために、まず加速度およびを水平方向と鉛直方向の成分に分解する。図に示すように水平方向および鉛直方向に、それぞれu軸およびv軸をとった。加速度の水平成分と鉛直成分を、それぞれおよびとすれば、
× エ × オ 
× カ × キ 
と表される。
3 文中の エ  キ にあてはまる適当な数式を答えよ。
4 を、Mmgおよびq を用いて表せ。
5 小物体は、が時間に依存しない等加速度運動を行う。このことを利用し、線分PHh[m]として線分QHを求めよ。

解答 小物体が斜面上を滑り落ちるという設定はよく見かけますが、斜面が動いてしまうとどうなるか、という問題です。問題文の誘導は必ずしも解きやすい流れではないので、別解にも注目してください。


1() 三角柱が受けるは、小物体から受ける垂直抗力Nで、この水平成分は
三角柱の運動方程式
 ・・・@
......[]
() 系の外部から見て、小物体に働くは三角柱から受ける垂直抗力N (y軸負方向)重力 (鉛直下向き)
小物体のx方向の運動方程式
 ・・・A
小物体のy方向の運動方程式
 ・・・B
N ......[]
() 小物体が常に三角柱に接しているので、小物体の加速度y成分は三角柱の加速度y成分に等しく、右図より、
 ・・・C
......[]

2 @より、 ・・・D
これとCをBに代入し、


......[]
Dより、[N] ......[]

3 右図より、 ・・・E
 ・・・F
() ......[]
(
) ......[]
(
) ......[]
(
) ......[]

4 A,Cより、
E,Fに代入し、
......[]
......[]

5 小物体がPQに要する時間tとすると、
[m] ......[]

別解 問1,問2については、小物体の運動を三角柱上から見て慣性力 (水平方向左向き)を考えることもできます。論述式の問題では、なかなかCが思いつけないので、慣性力を考える方が安全だと思います。
右図より、斜面上で見て、斜面に垂直な方向の力のつり合い
 ・・・G
系の外部から見て、三角柱の運動方程式
 ・・・@
@より、
Gに代入すると、
[N]

3、問4、問5については、QHを求めるだけなのであれば、この問題の誘導に沿って考えるよりも、重心を考える方が簡単です。
水平方向には系の外部から
外力が働いていないので、小物体+三角柱の重心は等速度運動するのですが、最初静止しているので、重心はずっと静止しているままになります。
最初の
重心の位置を0として、小物体がQに到達するとき、小物体は左にQHだけ動き、三角柱は右にだけ動きます。このときの重心の位置について、
[m]


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