断熱変化    関連問題

気体が外部と熱のやりとりをすることなく行う状態変化を断熱変化と言う。
理想気体の断熱変化において、気体のした仕事Wは、内部エネルギーの変化の符号を変えたものに等しく、気体のモル数をn,定積モル比熱として、
また、断熱変化において、圧力p体積Vの間には、
という関係がある。この式をポアッソンの関係式と言う。gは、比熱比である。
断熱変化の
pV図は、等温曲線よりも傾きが急になる。

断熱変化においては、気体が吸収した
0で、気体のした仕事W内部エネルギーの変化として、熱力学第一法則より、

断熱変化の間に、絶対温度変化したとすると、理想気体のモル数をn,定積モル比熱をとして、
 ・・・@
@より、断熱変化で気体が膨張
(断熱膨張と言う)し外部に正の仕事をする()と、となり、温度が下がります。断熱変化で気体が圧縮(断熱圧縮と言う)されて外部から正の仕事を受ける()と、となり、温度が上昇します。
夏の暑い日に上昇気流が起きると積乱雲が発生するのは、上昇気流の断熱膨張の効果により温度が下がって空気中の水蒸気が結露するからです。
また、冷蔵庫やエアコンの冷却も、一度圧縮した気体を一気に膨張させて温度を下げることにより実現しています。

断熱変化の過程のある状態において、理想気体の
圧力p体積V,モル数をn,気体定数をR絶対温度Tとして、
状態方程式 ・・・A
そこから断熱変化で、
圧力体積絶対温度が微少量変化し、になったとして、
変化後の状態方程式:
展開して、
2次の微少量を無視すると、
 ・・・B
B−Aより、 ・・・C
一方、この微小な変化の過程で気体のした
仕事は、2次の微少量を無視すると、と考えられます。@で、として、
Cに代入して、
整理して、 
(マイヤーの関係式を使用)
ここで、比熱比を用い、さらに両辺をで割ると、

として、を微分記号に変え、両辺を積分すると、

 (cは積分定数)

これより、ポアッソンの関係式

が得られます。

ポアッソンの関係式と状態方程式は、ともに、
圧力p体積Vに関する関係式ですが、断熱変化において、排他的に用いるのではなく、連立して用いることに注意してください。両者を組み合わせることにより、

より、ポアッソンの関係式の変形

が得られます。こちらも有用な式です。

ポアッソンの関係式より、断熱変化の
pV曲線は右図赤線のようになります。

より、
断熱変化のpV曲線は、等温曲線よりも傾きが急になることに注意してください。
断熱変化で、気体の体積、圧力、絶対温度が、と変化するとき、として、気体のする仕事は、右図の黄色部分の面積になります。

(状態方程式より、,ポアッソンの関係式より、)



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