早稲田大学基幹・創造・先進理工学部2021年数学入試問題

[1]
 xy平面上の曲線Cとする。C上の2ABをとる。さらに、C上で原点OBの間に動点P ()をとる。このとき、以下の問に答えよ。
(1) 直線APx軸のなす角をαとし、直線PBx軸のなす角をβとするとき、tを用いて表せ。ただし、とする。
(2) tを用いて表せ。
(3) を最小にするtの値を求めよ。
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[2] 整式について、以下の問に答えよ。
(1) で割ったときの余りを求めよ。
(2) で割ったときの余りを求めよ。
(3) 自然数n3の倍数であるとき、で割り切れることを示せ。
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[3] 複素数に対応する複素数平面上の点をとする。このとき、以下の問に答えよ。
(1) 複素数平面上の点と原点O3点は一直線上にあることを示せ。
(2) が直線AB上を動くとき、の実部をx,虚部をyとして、点の軌跡をxyの方程式で表せ。
(3) が三角形OABの周および内部にあるとき、点全体のなす図形をKとする。Kを複素数平面上に図示せよ。
(4) (3)の図形Kの面積を求めよ。
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[4] nk2以上の自然数とする。n個の箱の中にk個の玉を無作為に入れ、各箱に入った玉の個数を数える。その最大値と最小値の差がとなる確率を ()とする。このとき、以下の問に答えよ。
(1) のとき、を求めよ。
(2) のとき、を求めよ。
(3) のとき、を求めよ。
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[5] 正四面体OABCに対し、三角形ABCの外心をMとし、Mを中心として点ABCを通る球面をSとする。また、Sと辺OAOBOCとの交点のうち、ABCとは異なるものをそれぞれDEFとする。さらに、Sと三角形OABの共通部分として得られる弧DEを考え、その弧を含む円周の中心をGとする。として、以下の問に答えよ。
(1) を用いて表せ。
(2) 三角形OABの面積を,四角形ODGEの面積をとするとき、をできるだけ簡単な整数により表せ。
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