早稲田大学基幹・創造・先進理工学部2020年数学入試問題

[1]
 複素数αβγかつを満たすとき、以下の問に答えよ。
(1) αβγを表す複素平面上の点が正三角形をなすことを示せ。
(2) の値を求めよ。
(3) n3で割り切れない自然数とするときの値を求めよ
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[2] 放物線Cとする。C上を動く点をPとし、dを正の定数とする。点PにおいてCに接する半径dの円で、中心Qの座標を満たすものを考える。このとき、以下の問に答えよ。
(1) 放物線CPにおける接線の方程式を求めよ。
(2) 放物線CPにおける法線の方程式を求めよ。
(3) 中心Qy座標Ytを用いて表せ。
(4) Yの極小値を求めよ。
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[3] 曲線の部分とx軸上の線分のなす曲線をCとし、Cy軸のまわりに1回転してできる容器をVとする。ただし、で定義された正の関数とする。Vに毎秒一定量vの水を注ぐとする。t秒後のV内の水位をとするとき、以下の問に答えよ。
(1) 水位が一定の速さで上昇するとき、は定数関数であることを示せ。
(2) のとき、を求めよ。
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[4] 箱の中にa個の赤玉とb個の白玉を合わせて2020個入れる。ただし、とする。n人を一列に並べ、前から順に1, 2, ・・・, nと番号をつける。番号1の人から順に玉を1個取り出し、色を確認したら箱の中へ戻し最後尾に並び直す。これを赤玉が出るまで繰り返す。番号kの人が赤玉を引く確率を,また、とするとき、以下の問に答えよ。
(1) βを用いて表せ。
(2) に対して、を求めよ。
(3) に対してとし、
と定める。のとき、Eの値を最大にするようなabを求めよ。必要ならば、なる実数rに対してとなることを用いてよい。
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[5]  以下の問に答えよ。
(1) 関数のグラフと関数のグラフを一つの座標平面上に描け。
(2) 連立不等式の表す領域をDとする。このとき、Dを図示せよ。
(3) 領域Dの面積を求めよ。
(4) 領域Dx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ。
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