早大理工数学'11[3]

とする。以下の問いに答えよ。
(1) のグラフの概形を次の点に注意して描け:の増減、グラフの凹凸、のときのの挙動。
(2) nを自然数とする。に対してxを動くときのの最大値を,最小値をとし、

とおく。を求めよ。
(3) およびを求めよ。
(4) nに対してであることを示せ。

解答 極限微分に関する基本問題です。こうした問題で着実に得点できるように、基本反復演習をしておいて欲しいというのが出題者の意図でしょう。
なお、とおいて置換成分することにより、なので、
(3)の結果は最初から見えています。

(1)  (商の微分法を参照)
とすると、 ∴ ,このとき、
とすると、 ∴
,このとき、
のとき、より、
これより、
(y)漸近線になります。
のときのの挙動を調べるために準備をします。
とおくと、

とすると、 ∴ ,このとき、
x0

×0
×

増減表より、 (関数の増減を参照)
で割ると、
において
のとき、
はさみうちの原理より、
また、のとき、,これより、
(x)が漸近線になります。
の増減表は以下のようになります。

x0
e

()
×0
×0
×(0)

以上より、のグラフは右図太線。

(2) より、 ()において、は単調増加です。この範囲におけるの最大値,最小値は、


 (Σの公式を参照)
......[
]


......[]

(3) (極限の公式を参照)を利用するために、(2)の結果で、で割ってをかけます。で割ってをかけます。
のとき、
(数列の極限を参照)
......[]

(4) において,
範囲内では、恒等的に,あるいはに等しい、ということはないので、
 (定積分と不等式を参照)
より、
各辺をについて加え合わせると、
より、


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