早大理工数学'11[2]

xy-平面上の円Cの内側を半径の円DCに接しながらすべらずに転がる。時刻tにおいてDは点Cに接しているとする。Dの周上の点Pの軌跡について考える。ある時刻において点Pにあり、Dの中心が第2象限にあるとする。以下の問いに答えよ。
(1) 時刻におけるDの中心の座標を求めよ。
(2) 1象限において、点PC上にあるときのPの座標を求めよ。
(3) Pの軌跡をxy-平面上に図示せよ。

解答 円の内側を転がるもう一つの円の周上の点の軌跡は、ふつう、ハイポサイクロイドになります。本問では、ちょっと図を描いてみれば、時刻にあった円D上の点が、x軸上のの部分を動くことはすぐわかります。点Pが最初にどこにいたのかがわからないのですが、最初の位置と中心を結ぶ半径がx軸となす角をαとおけば、ハイポサイクロイドの類題と同じように考えて行けます。

(1) 時刻tにおける円Dの中心の位置をQ Qを通りx軸に平行な直線と円Dとの交点のうち、x座標の大きい方をRとして,接点Tとします。
QTOは一直線上にあるので、時刻tにおけるQの座標はです。また、
 ・・・@
時刻において接点Tは点Aにあります。このとき、 ()とします。
D上の点で時刻Aに位置していた点をSとすると、時刻tにおいて、円D上の円弧TSと円C上の円弧TAの長さは等しいので、とすると、 (一般角を参照)より、

これより、時刻
tにおいて、
@に代入して、
 (三角関数の諸公式を参照)
 ・・・A
Pは、,これより、Pは直線上にあります。また、のときには、点Pは原点Oに来ます。
Pは時刻に来るので、
より、

Aに代入して、 ・・・B
では、
よって、
において、
Dの中心Qが第2象限にあることから、


D
の中心Qの座標は、 ......[]

(2) Pは直線上の点ですが、この直線と円Cとの交点は、
1象限においては、
1象限において、点PC上にあるときのPの座標は、 ......[]

(3) Bより、
より、
求める
軌跡は、直線の部分で、図示すると右図太線。


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