早大理工数学'11[1]

xy-平面上の放物線Cとする。以下の問いに答えよ。
(1) C上の点におけるCの法線の方程式を求めよ。
(2) を通る法線の数を求めよ。
(3) を通るCの法線の数が2となるためのt に対する条件を求めよ。

解答 (3)では、結局、3次関数の極値を調べることになります。

(1) C
微分すると、
における接線の傾きは
法線の傾きは (直線の平行と垂直を参照)、法線の方程式は、

......[] ・・・@

(2) @が点を通るので、


a
3通りの値が3本の異なる法線を与えます。よって、点を通る法線の数は、3 ......[]

(3) @が点を通るので、

とおくと、
法線の数が
2となるために、は極大、極小をもつ必要があり(3次関数の増減を参照)2次方程式は相異なる2実数解をもちます。よって、が必要で、のもとに、は、2をもちます。
このとき、法線の数が
2となるために、のもとで極大値あるいは極小値が0となることが必要十分で、

より、 ......[]


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