早稲田大学基幹・創造・先進理工学部2010年数学入試問題

[1]
 xy平面上の2ABを通り、直線と共有点をもつ円を考える。以下の問いに答えよ。
(1) この円の中心Pの軌跡を求めよ。
(2) この円の半径rの最小値を求めよ。
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[2] xy平面上の点に対して、点,・・・ を次の式で順に定める。
以下の問いに答えよ。
(1) のとき、を求めよ。
(2) のとき、を求めよ。
(3) かつ のとき、となることを示せ。
(4) となる2以上の整数nが存在しないとき、点はどのような範囲にあるかを図示せよ。
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[3] abを実数とし、xy平面上の次の2つの関数のグラフについて考える。
 ・・・@
 ・・・A
以下の問いに答えよ。
(1) @,Aがただ1つの共有点をもつとき、abaで表し、そのグラフをab平面上に図示せよ。
(2) (1)のグラフをと表す。定数pに対して
を最大にするaおよびその最大値を求めよ。
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[4] xyz空間において、2PQを考える。線分PQx軸の周りに1回転して得られる曲面をSとする。以下の問いに答えよ。
(1) 曲面Sと、2つの平面およびで囲まれる立体の体積を求めよ。
(2) (1)の立体の平面による切り口を、平面上において図示せよ。
(3) 定積分の値をと置換することによって求めよ。これを用いて、(2)の切り口の面積を求めよ。
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[5] 表の出る確率がp (),裏の出る確率がの硬貨が1枚ある。nを自然数とする。この硬貨を回投げたとき、表が回以上出る確率をとする。以下の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) となるpの範囲を求めよ。
(3) となるabnを用いて表せ。ただしabpを含まないとする。
(4) のとき、を最大にするnを求めよ。
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