早大理工数学'09[5]

実数に対して、
とおく。以下の問いに答えよ。
(1) が最小となるxの値を求め、のグラフを描け。
(2)
とおく。が最小となるtの値を求めよ。
(3) のとき、
が成立することを用いて、右側からの極限を求めよ。

解答 ただひたすら計算する問題です。

(1)  (微分の公式合成関数の微分法を参照)
とすると、
両辺の
対数を考えて、より、
(とします)
x

0


増減表より(関数の増減を参照)が最小となるxの値は、
......[]
また、より、グラフは右図実線。

(2) より、
 (不定積分の公式を参照)

とすると、
両辺の対数を考えて、
(とします)
t

0


増減表より、が最小となるtの値はは、
......[]

(3)
問題文の不等式より、,よって、
ここで、極限の公式 を利用するために、左辺ではt,右辺ではtとみて変形すると(logの右側を逆数にしてマイナスをつける)
ここで、とすると、で、より、

よって、はさみうちの原理より、
......[]


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