早大理工数学'07[5]

xy平面において、点を中心とする半径5の円をC,点を中心とする半径4の円をDとする。CDの共通接線のうち、CDが異なる側にあり傾きが正であるものを,傾きが負であるものをとし、CDが同じ側にあり傾きが正であるものをmとする。以下の問に答えよ。
(1) 直線の方程式を求めよ。
(2) 直線mの方程式を求めよ。
(3) 三直線mのすべてに接しCDと異なる円をEとする。二円Eの中心のx座標を求めよ。
(4) (3)の円Eの半径を求めよ。

解答 (1)(2)は相似を考えて図形的に処理する方がラクですが、ここではオーソドックスにやってみます。

CDの共通接線の方程式を ・・・@ とおきます。
題意より、@ととの距離が
5なので(円と直線の位置関係を参照)
 ・・・A
@ととの距離が4なので、
 ・・・B
A,Bより、を消去して、絶対値を外すと、
 ・・・C

Cの複号のプラスをとると、
 ・・・D
Aより、
整理すると、

2乗して、

これとDを@に代入し、aで割る(なら直線を表さない)と、
 ・・・E

Cの複号のマイナスをとると、 ・・・F
Aより、

5で割り2乗すると、

これとFを@に代入し、aで割ると、
 ・・・G

(1) E,Gのうち、CDが異なる側にあり傾きが正であるものは、
......[]

(2) E,Gのうち、CDが同じ側にあり傾きが正であるものは、
m ......[]

(3)
を共通接線とする円の中心は、なす角の2等分線上に来ます。つまり、円Eの中心はy軸上にあるので、そのx座標は0 ......[]

(4) Eの半径をr,中心のy座標をdとする(題意より、)と、との距離がrなので、
() ・・・H
mとの距離がrなので、
分母を払い、Hを代入して、
で割り、絶対値を外すと、
......[]


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