早大理工数学'07[4]

nを正の整数とするとき、以下の問に答えよ。
(1) kを正の整数とする。関数における最大値をとするとき、およびを求めよ。
(2) において定められた連続関数とする。関数における最大値をそれぞれとする。このとき0の大小を
         
の形式で答え、その理由をのべよ。
(3) を定数、とし、関数における最大値をとする。このときを求めよ。

解答 こういう問題は難問に見えてしまうのですが、難問だと思ってしまうと難問です。

(1)
 (微分・導関数積の微分法を参照)

とすると、においては、 ()
のとき、
x0

1

0
y00

増減表より、 ......[]
また、 ( )
......[]

(2) において、関数が、それぞれ、 ()において、最大になるとすると、
 ・・・@
 ・・・A
 ・・・B
@+Aより、
 ・・・C
Bの不等号の等号は、のときに成立します。
Cの不等号の等号は、であれば、のときに成立しますが、それ以外の場合には、必ずしも成立するとは限ないことに注意してください。
C左辺で、のときを考えると、
 ・・・D
また、関数は、のときに、関数値0をとります。従って、その最大値 ・・・E
D,Eより、
......[]

(3) 関数における最大値をとすると、より、関数における最大値は、です。
また、において、より、 ()
関数における最大値は、のとき、rです。
関数における最大値について、
(2)の結果より、
 ・・・F
において、より、関数:
における最大値は、関数の最大値r以上であって、
 ・・・G
F,Gより、
(1)より、のとき、より、
よって、
はさみうちの原理より、 ......[]


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