早大理工数学'07[3]

曲線で囲まれた図形のうち、をみたす部分の面積をとする()。以下の問に答えよ。
(1) をみたす定数pqを求めよ。ただし、Cは積分定数である。
(2) の値を求めよ。
(3) の値を求めよ。
(4) を求めよ。

解答 少々アレンジしてありますが、早大理工でも頻出の問題です。(1)がついているのは、部分積分させると、受験生が全滅状態になることを恐れてなのでしょうか?
面倒そうに見えますが、
等比数列です。

(1) の両辺をxで微分する(積の微分法微分の公式を参照)と、

で両辺を割って整理すると、
 ・・・@

ここで、
ABを定数として、
 
(三角関数の合成を参照)
ただし、δ は、をみたす角。
これが、
任意の実数xについて成り立つために、,つまり、であることが必要十分です。

従って、@が任意の実数
xについて成り立つために、

......[]
これより、 ・・・A

(2) より、Aを用いて、

ここで、
 ・・・B



 ・・・C

......[]

(3)
ここで、

について、とおくと、
xのとき、t (置換積分減衰振動関数を参照)

さらに、であることに注意すると、
において、
において、
より、


 ( B)
 ( C) ・・・D
......[]

(4) Dより、は、初項,公比の等比数列。
より、無限等比級数は、収束して和をもつので、
......[]


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