早大理工数学'07[2]

定数cに対して行列A
で定め、直線上の動点PAによって移動した点をQとする。すなわち、
に対応する点をQとする。定点Rとすべてのtの値に対して、Pを直角の頂点とする直角三角形となるという。以下の問に答えよ。
(1) 定点Rの座標および定数cの値を求めよ。
(2) 三角形PQRの外接円の面積の最小値と、そのときのtの値を求めよ。

解答 いろいろな解法が考えられますが、直線の傾きを考える(直線の方程式を参照)と場合分けが必要で面倒です。ここでは内積を考えることにします。
問題文が行列を使って書かれていますが、
行列の積の計算をするだけで、行列が本質的な問題ではありません。

見易くするために、ベクトルを縦ベクトルで書きます。

(1) Qの位置ベクトルは、
Pを直角の頂点とする直角三角形となることから、,つまり、 (内積を参照)
Rとして、


これがすべてのtの値に対して成立するために、
 (恒等式を参照)
......[]
定点Rの座標は、 ......[]
このとき、です。

(2) Pを直角の頂点とする直角三角形であることから、直角三角形の直径はQR,半径は,外接円の面積は、になります。

 (2次関数の最大・最小を参照)
これは、のときに、最大値 ......[] をとります。


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