球面のベクトル方程式

球面のベクトル方程式　　　　関連問題

中心の位置ベクトルが

，半径rの球面上の点の位置ベクトル

は、

を満たします。
これが、ベクトルを用いた球面の方程式です。
ベクトルで扱うと、球面の方程式と円の(ベクトル)方程式は全く同じ形をしています。

空間において、

は球面上の点と円の中心との距離を表すので、それが半径rで一定となれば、

　･･･①　が球面を表すのは明らかでしょう。

，

として、①式で、成分表示を考え
①式両辺を2乗して、

より、
①は、

となります。
これは座標空間内で考えたときの球面の方程式です。

①式とは違った形をしていますが、空間内において、

も球面を表します。
左辺を展開して、

について平方完成と同様の操作を行うと、

∴

　･･･②

，

を点A，点Bの位置ベクトルだとして、

は、2点A，Bの中点の位置ベクトルです。

は2点AB間の距離です。
従って、②式は、A，Bの中点を中心として、AB間の距離の

を半径とする球面ということになります。これは、線分ABを直径とする球面です。

は、

，つまり、球面上の点Pについて、

であることを言っている式です。

点H，D，Pの位置ベクトルを、

，

として、

　･･･③　は、Dを中心とする半径rの球面上の点Hにおける接平面を表します。
Hが球面上の点であることから、

より、

よって、

より、

∴

これは、

，つまり、接平面上の点Pと接点Hを結ぶ直線と半径HDが垂直であることを意味しています。

，

として③を成分表示してみます。

よって、D

を中心とする半径rの球面：

のH

における接平面の方程式は、

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