東京大学理系2020年前期数学入試問題

[1]
 abcpを実数とする。不等式


をすべて満たす実数xの集合と、を満たす実数xの集合が一致しているとする。
(1) abcはすべて0以上であることを示せ。
(2) abcのうち少なくとも1個は0であることを示せ。
(3) であることを示せ。
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[2] 平面上の点PQRが同一直線上にないとき、それらを3頂点とする三角形の面積をで表す。また、PQRが同一直線上にあるときは、とする。
ABCを平面上の3点とし、とする。この平面上の点X
を満たしながら動くとき、Xの動きうる範囲の面積を求めよ。
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[3] を満たす実数tに対して

とする。座標平面上の点Pを考える。
(1) におけるtの関数は単調に減少することを示せ。
(2) 原点とPの距離をとする。におけるtの関数の増減を調べ、最大値を求めよ。
(3) tを動くときのPの軌跡をCとし、Cx軸で囲まれた領域をDとする。原点を中心としてDを時計回りに回転させるとき、Dが通過する領域の面積を求めよ。
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[4] nkを、を満たす整数とする。n個の整数
()
から異なるk個を選んでそれらの積をとる。k個の整数の選び方すべてに対しこのように積をとることにより得られる個の積の和をとおく。例えば、
である。
(1) 2以上の整数nに対し、を求めよ。
(2) 1以上の整数nに対し、xについての整式
を考える。xについての整式として表せ。
(3) nkで表せ。
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[5] 座標空間において、xy平面上の原点を中心とする半径1の円を考える。この円を底面とし、点を頂点とする円錐(内部を含む)Sとする。また、点Aを考える。
(1) PSの底面を動くとき、線分APが通過する部分をTとする。平面によるSの切り口および、平面によるTの切り口を同一平面上に図示せよ。
(2) PSを動くとき、線分APが通過する部分の体積を求めよ。
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[6] 以下の問いに答えよ。
(1) Aαを実数とする。θの方程式
を考える。のとき、この方程式はの範囲に少なくとも4個の解を持つことを示せ。
(2) 座標平面上の楕円
C
を考える。また、を満たす実数rに対して、不等式
が表す領域をDとする。D内のすべての点Pが以下の条件を満たすような実数r ()が存在することを示せ。また、そのようなrの最大値を求めよ。
条件:C上の点Qで、QにおけるCの接線と直線PQが直交するようなものが少なくとも4個ある。
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