東京大学文系2011年数学入試問題

[1]
 x3次関数が、3つの条件
を全て満たしているとする。このようなの中で定積分
を最小にするものを求め、そのときのIの値を求めよ。ただし、の導関数を表す。
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[2] 実数xの小数部分を、かつが整数となる実数yのこととし、これを記号で表す。実数aに対して、無限数列の各項 ()を次のように順次定める。
(i)
(ii)
(1) のとき、数列を求めよ。
(2) 任意の自然数nに対してとなるような以上の実数aをすべて求めよ。
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[3] pq2つの正の整数とする。整数abcで条件
を満たすものを考え、このようなabcの形に並べたものをパターンと呼ぶ。各パターンに対して
とおく。
(1) パターンのうち、となるものの個数を求めよ。また、となるパターンの個数を求めよ。
以下、の場合を考える。
(2) sp以下の整数とする。パターンでとなるものの個数を求めよ。
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[4] 座標平面上の1Pをとる。放物線上の2QRを、3PQRQRを底辺とする二等辺三角形をなすように動かすとき、△PQRの重心Gの軌跡を求めよ。
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