東大理系数学'11年前期[4]

座標平面上の1Pをとる。放物線上の2QRを、3PQRQRを底辺とする二等辺三角形をなすように動かすとき、△PQRの重心Gの軌跡を求めよ。

解答 問題状況の設定は目新しいですが、実質は対称式を利用する古典的な問題です。なお、座標平面における内分・外分を参照してください。

QRの中点Mは、
PQRの重心GPM21に内分する点で、その座標は、
よって、


 ・・・@
より、

Q
Rは異なる2点で、異なる実数αβ が存在するために、αβ 2解とするx2次方程式
は、相異なる2実数解をもち、この2次方程式の判別式Dについて、

 ・・・A
3PQRQRを底辺とする二等辺三角形をなすとき、より、
直線
QRの傾きは、
直線
PMの傾きは、
 (2直線の平行・垂直を参照)
@より、

 ・・・B
 ・・・C
ここで、条件Aを考慮すると、Bより、
となるので、Aより、

 ・・・D
C,Dより、求める
軌跡は、曲線:の部分。 ......[]


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