東大理系数学'11年前期[1]

座標平面において、点Pを中心とする半径1の円をCとする。aを満たす実数とし、直線Cとの交点をQRとする。
(1) PQRの面積を求めよ。
(2) aの範囲を動くとき、が最大となるaを求めよ。

解答 弦の長さを、点と直線の距離の公式から考える標準的な最大・最小問題です。

(1) は、とすると、aの値にかかわらずとなるので、定点を通り傾きaの直線を表します(定点を通る直線を参照)
Pから直線,つまり、に下ろした垂線PHの長さは、
 (点と直線の距離を参照)
......[]

(2) のとき、
 (商の微分法を参照)


とすると、 ()
の範囲で増減表は(関数の増減を参照)
a0

1

0




これより、を最大とするaは、 ......[]

追記.(1)PHaの関数とみてとすると、
において、より、は減少関数で、です。これより、となります。
従って、のとき、直線と円は必ず
2交点をもちます(図形的に明らかですが)
また、
(2)では、 ()とおくと、
 (2次関数の最大最小を参照)
より (を満たす)のとき最大となりますが、このとき、
より、となります。


   東大理系数学TOP   数学TOP   CHALLENGE from the VOID   TOPページに戻る

©2005-2011
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾CFV21(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元