東京大学文系2010年数学入試問題

[1]
 Oを原点とする座標平面上に点Aをとり、の範囲にあるq に対して、次の条件(i)(ii)をみたす2BCを考える。
(i) Bの部分にあり、かつである。
(ii) Cの部分にあり、かつである。ただし、△ABCOを含むものとする。
以下の問(1)(2)に答えよ。
(1) OABと△OACの面積が等しいとき、q の値を求めよ。
(2) q の範囲で動かすとき、△OABと△OACの面積の和の最大値と、そのときのの値を求めよ。
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[2] 2次関数に対して
xについて恒等式になるような定数abcの組をすべて求めよ。
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[3] 2つの箱LR,ボール30個、コイン投げで表と裏が等確率で出るコイン1枚を用意する。x0以上30以下の整数とする。Lx個,R個のボールを入れ、次の操作()を繰り返す。

() Lに入っているボールの個数をzとする。コインを投げ、表が出れば箱Rから箱Lに、裏が出れば箱Lから箱Rに、個のボールを移す。ただし、のときのときとする。

m回の操作の後、箱Lのボールの個数が30である確率をとする。たとえばとなる。以下の問(1)(2)(3)に答えよ。
(1) のとき、xに対してうまくyを選び、で表せ。
(2) nを自然数とするとき、を求めよ。
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[4] Cを半径1の円周とし、AC上の1点とする。3PQRAを時刻に出発し、C上を各々一定の速さで、PQは反時計回りに、Rは時計回りに、時刻まで動く。PQRの速さは、それぞれm12であるとする。(したがって、QCをちょうど一周する。)ただし、mをみたす整数である。△PQRPRを斜辺とする直角二等辺三角形となるような速さmと時刻tの組をすべて求めよ。
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