東京大学理系2010年前期数学入試問題

[1]
 3辺の長さがabc の直方体を、長さがb1辺を回転軸として回転させるとき、直方体が通過する点全体がつくる立体をVとする。
(1) Vの体積をabcを用いて表せ。
(2) のとき、Vの体積のとりうる値の範囲を求めよ。
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[2](1) すべての自然数kに対して、次の不等式を示せ。
(2) であるようなすべての自然数mnに対して、次の不等式を示せ。
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[3] 2つの箱LR,ボール30個、コイン投げで表と裏が等確率で出るコイン1枚を用意する。x0以上30以下の整数とする。Lx個,R個のボールを入れ、次の操作()を繰り返す。

() Lに入っているボールの個数をzとする。コインを投げ、表が出れば箱Rから箱Lに、裏が出れば箱Lから箱Rに、個のボールを移す。ただし、のときのときとする。

m回の操作の後、箱Lのボールの個数が30である確率をとする。たとえばとなる。以下の問(1)(2)(3)に答えよ。
(1) のとき、xに対してうまくyを選び、で表せ。
(2) nを自然数とするとき、を求めよ。
(3) nを自然数とするとき、を求めよ。
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[4] Oを原点とする座標平面上の曲線
C
と、その上の相異なる2を考える。
(1) ()を通るx軸に平行な直線と、直線との交点を、それぞれ ()とする。このときの面積は等しいことを示せ。
(2) とする。このときCの範囲にある部分と、線分とで囲まれる図形の面積を、を用いて表せ。
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[5] Cを半径1の円周とし、AC上の1点とする。3PQRAを時刻に出発し、C上を各々一定の速さで、PQは反時計回りに、Rは時計回りに、時刻まで動く。PQRの速さは、それぞれm12であるとする。(したがって、QCをちょうど一周する。)ただし、mをみたす整数である。△PQRPRを斜辺とする直角二等辺三角形となるような速さmと時刻tの組をすべて求めよ。
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[6] 四面体OABCにおいて、4つの面はすべて合同であり、であるとする。また、3OABを含む平面をLとする。
(1) Cから平面Lにおろした垂線の足をHとおく。を用いて表せ。
(2) をみたす実数tに対して、線分OAOB各々をtに内分する点をそれぞれとおく。2を通り、平面Lに垂直な平面をMとするとき、平面Mによる四面体OABCの切り口の面積を求めよ。
(3) tの範囲を動くとき、の最大値を求めよ。
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各問検討

[1](解答はこちら) 2変数関数の最大・最小問題の解法には、以下のようなものがあります。
(i) 2文字の2次式の場合には、1文字ずつ平方完成します。
(abは実数)の最小値を求めるのであれば、まずaについて平方完成し、残った部分はbについて平方完成します。


なので、Pは、,かつ、,つまり、かつのときに最小値3をとります。

(ii) 分母・分子が同次式の分数の形をしている場合には1変数関数に直せます。
2変数の分数でも、分母・分子が同次で、次数が一致している場合には、2変数の比を新たに変数に取り直すと1変数の関数に直すことができます。
例えば、早大理工
01[2]

Aは中心O,半径1の円の内部およびその周上を動き、点Pは中心,半径1の円の内部およびその周上を動くとする。このとき、とおく。次の問いに答えよ。
(1) 直線APの傾きをmとする。kmを用いて表せ。
(2) kの値のとり得る範囲を求めよ。

解答 kについて、分母、分子とも1次式です。(1)は、2変数の比を考えるように促すヒントです。
(1) にはなり得ないので、直線BPの傾き: (直線の方程式を参照)より、kの式の分母・分子をで割って、
......[]
(2) 2円の中心Oの中点Mです。直線APをいろいろと動かしてみると、直線APMを通過してかつ、2円に接するときにmが最大・最小となることがわかります。このとき、APは接点になり、として、
より、となります。従って、mのとりうる値の範囲は、
 ・・・@
(1)の結果より、
このグラフは、を漸近線とする双曲線です。@の範囲において
kmの増加関数で、
......[]
次の東工大99[1]も同様の発想で解答できます。

正の実数abpに対して、

の大小関係を調べよ。


解答 ab2変数関数ですが、分母・分子ともp次の同次式なので、 ()1変数関数と考えることができます。の分母・分子をで割って、
として、
 (商の微分法を参照)
(a) のとき、より、において最大で、より、 (不等号の等号はのとき)
(b) のとき、より、において最小で、より、 (不等号の等号はのとき)
(c) のとき、
のときのときのときなので、(a)(b)(c)より、
またはのときかつのときかつのとき
......[]

(iii) 1文字を固定して他方の文字を変化させ、最大最小を固定した文字の関数として求めておき、はじめに固定していた文字をさらに動かして最大最小を求めます。
例えば、東大83[3]では、

平面上に点Oを中心とする半径1の円Cがある。また、この平面上のOと異なる点Aを通って直線OAと垂直な空間直線lがあり、平面とのなす角がである。このとき、円Cと直線lの間の最短距離を、2OA間の距離aで表せ。

解答 点Oを原点として、直線OAの方向にx軸、平面上に直線OAと垂直な方向にy軸、この平面と垂直にz軸をとります。円周C上の点Pの座標はとして、と表せます。直線lの方向ベクトルをとそます。
注.直線lの方向ベクトルは、の複号の取り方で4通りの可能性がありますが、どれをとっても結果に変わりはありません。
直線lAを通るので、l上の点Qの座標は、tを実数として、
 (空間ベクトルを参照)
と表せます。



 (という条件付きなら(i)の場合になりますが、ということもあり得るので、のときに最小値をとるとは限りません)
tθ 2変数関数になりますが、まずθ を固定してt2次関数と見ると、のときに最小となり、このとき、
今度はθ を動かすと、これをに関する2次関数と見ることができて、より、
(a) のとき、のときに最小値
(b) のとき、のときに最小値
となります。よって、円Cと直線lの間の最短距離は、
のときのとき
......[]
京大99年後期[2]では、

αβγを満たすものとする。このとき、の最大値を求めよ。

解答 αβγ3変数がありますが、という関係があるので実質的に2変数です。また、3変数とも、です。
 (積を和に直す公式を利用)
ここで、γ を固定してを動かすと、より、
 (不等号の等号はのときに成立)
とおくと、
 (積の微分法微分の公式を参照)
においては、のときのときより、の最大値は (関数の増減を参照)で、の最大値も、のときに ......[]



[2](解答はこちら) 解答にも書きましたが、07年前期[6]をやや易しくした問題です。難解な07年前期[6]と比べると、本問(1)のアイデアは、グラフを描き補助線をいろいろと引いてみれば試験会場でも気づけるだろうと思います。もし、気づけない、と、おっしゃる方がいるのであれば、漠然と現状肯定の生活で妥協してしまわないで、身の回りのことから細かい工夫を凝らすことを考えてみてください。
忘れ物が多い方は、忘れ物チェック・シートを用意して外出する前にチェックするようにしましょう。
興奮しやすく慌てふためいてミスを乱発する方は、驚くようなことが起きたときに一度大きく深呼吸するようにしましょう。
待ち合わせの時刻を守れない方は、日常的な行動に要する時間を調べて、待ち合わせ時刻から逆算して分刻みでスケジューリングをしてみましょう。
数学の解法パターンに習熟するだけでなく、こうした日々の工夫をする心がけが、試験会場でも、いろいろと試行錯誤し、アイデアをひねり出す意欲につながるはずです。
本問
(2)のポイントは、解答中の不等式D:
で、とした式を辺々加え合わせることにあります。隣接する項の和の中に打ち消し合うものがあって、和の先頭と末尾が生き残り、結果の形が得られる、という技巧を使います。また、本問では、(1)で得られた形を単純に加え合わせるのではなく、目的の形ができるように式変形しなければいけない、というところが壁になっています。こうした点は、91年前期[6]や、物理08年前期[3]などにも見られます。一ひねりで済まずに、もう一ひねり、さらに二ひねりする、という粘り強さが要求されます。ちょっと行き詰まった、というだけで諦めてしまわずに、何とか解決策を見出せないものか、こちらがだめならあちら、あちらもだめならさらにその向こう、という感じでどこまでも突き詰めていく気持ちが必要です。ここも、数学の難問に次から次へと挑戦していく、という数学的技巧の側面を磨くだけでなく、日常生活の中で不撓不屈の精神を鍛えましょう。



[3](解答はこちら) (1)を割り切ってパスし、(2)(3)だけを解答する、ということにすれば難問ではないし、合格のためにはその方が賢明だと思います。何と言っても(1)の問題文の意味するところが難解です。出題者がヒントのつもりで問題文に書いていることが、受験生にとっては迷惑なことになっているのですが、あらかじめ入試問題を多数の人にモニターしてもらうわけにもいかないので、こういうことは起こり得ると考えておく方が良さそうです。
(1)も以下の過去問の経験があれば、最初の1回の前後の関係を調べるというアイデアは樹形図から思いつけないことはないと思います。ですが、何十年分も過去問を見ておくのは普通の受験生では無理だと思います。また、日常生活から数学以外の課題に対しても、常識的な発想にとらわれずに奇抜なアイデアを思い浮かべる、ということをやっている受験生でないと、厳しいでしょう。

さて、解答に書いた東大
84[5]は以下の問題です。本問(2)(3)だけのときと比べると、こちらの方がやや難しい問題です。

各世代ごとに、各個体が、他の個体とは独立に、確率
p1個、確率2個の新しい個体を次の世代に残し、それ自身は消滅する細胞がある。いま、第0世代に1個であった細胞が、第n世代にm個となる確率を、と書くことにしよう。nを自然数とするとき、を求めよ。

解答 (i) のとき、のとき
(ii) のとき、
(iii) のとき
0世代から確率pで細胞1(0世代と同じ状況)になり、以降世代で細胞が1個になる確率は,一旦細胞が2個以上になってしまえば、細胞1個の状況には戻らないので、
これより、は、初項,公比pの等比数列で、
......[]
0世代から確率pで細胞1(0世代と同じ状況)になり、以降世代で細胞が2個になる確率は,第0世代から確率で細胞が2個になってしまうと、以降世代では、2個の細胞について、確率p1個の細胞から1個の細胞が生じるだけになるので、
で割って、
これより、の階差数列が,と見て、より、
......[]
0世代で細胞が2個あるとして、第n世代で細胞が3個になる確率をとします。
0世代で細胞が1個の状況で、第0世代から確率pで細胞1個になり、以降世代で細胞が3個になる確率は,第0世代から確率で細胞が2個になってしまうと、以降世代で細胞が3個になる確率はになるので、
 ・・・@
0世代で細胞が2個あるとき、確率で細胞は2個のままになり、以降世代で細胞が3個になる確率は,第0世代から確率で細胞が3個になってしまうと、以降世代では、3個の細胞について、確率p1個の細胞から1個の細胞が生じるだけになるので、
で割って、
これより、の階差数列が,と見て、より、

@に代入して、
で割って、
これより、の階差数列が,と見て、より、
......[]

東大90年前期[6]は以下の問題です。こちらは、本問(2)(3)と同程度です。

一つのサイコロを続けて投げて、最初の
n回に出た目の数をその順序のまま小数点以下に並べてできる実数をとおく。たとえば、出た目の数が526,・・・であれば、,・・・である。実数αに対してとなる確率をとおく。
(1) を求めよ。
(2) となるのはαがどのような範囲にあるときか。

解答(1) です。
などとなれば、となるわけですが、3回ごとに同じことが繰り返されることに着目します。
kを自然数として、サイコロを回投げたときにとなる確率を考えます。
サイコロを回投げてとなる
(確率)のは、1回目に1が出て(確率)、かつ、2回目に1が出る(確率)か、または、2が出て、なおかつ、2回目に2が出た(確率)ときは、3回目に12が出る(確率)か、または、3が出たときで、3回目に3が出た(確率)ときには、残る回でとなる(確率)ときです。よって、

これより、は、初項,公比の等比数列で、

のときより、
......[]
(2) 1回目に123が出る確率はです。このときにn回サイコロを投げて題意のようにしてできる実数は、1回目に3が出て以後6が出続けてできる実数以下です。また、サイコロの目は16しかないので、より大きく、1回目に4が出て以後1が出続けてできる実数未満の実数ができることはありません。よって、となるαは、
......[]



[4](解答はこちら) 本問は、という形の積分計算に関する技巧を背景とした問題です。
本年早大理工[4]では、とおいて、
より、
 (C:積分定数)
として積分を行っていますが、大学入試では、を利用して、以下のように部分積分を促す誘導をよく見かけます。


 (C:積分定数)
ですが、もう一つ、という置換積分をする方法が知られています。
より、
 (C:積分定数)
であれば簡単ですが、の場合は少々工夫をして、
より、
となるので、
 (ここがみそです)




として、図形的意味を確認しながら積分計算をしているのが本問です。

さて、頭を悩ます難問が続出の東大理系でも、いわゆる受験技巧を駆使するような問題が毎年
12題出題されています。2010年度では、本問がそうした問題に当たります。解答の(2)では、技巧に走らず素直な考え方でやってありますが、うまくやるのであれば、以下のような、逆関数を考える解法の方が容易に面積を求めることができます。
解答の図で、の交点を
Qとすると、(1)より、なので、より、
 ・・・@
曲線Cの範囲にある部分をとします。
問題となっている面積、つまり、と線分とで囲まれる図形の面積
Sは、と線分で囲まれる部分の面積をとして、@より、
となり、と直線,線分に囲まれた部分の面積に等しくなります。よって、曲線Cを与える関数を,この逆関数をとして、面積Sは、y方向の定積分:
で与えられます。解答中のD式:を利用すれば、より、
となります。

解答で書いた、
x方向の定積分のままで置換積分を行う考え方は、やや趣を異にしますが、円筒分割によるy軸の回りの回転体の公式の証明などに出てくる考え方と共通のものです。
例えば、東大
89[5]

とする。のグラフのの部分と
x軸とで囲まれた図形をy軸のまわりに回転させてできる立体の体積Vは、で与えられることを示し、この値を求めよ。

解答 たくさんの円筒に分割して積分することを図形的に説明することも可能ですが、ここでは、計算でやってみます。
においてから一旦増加して
()で極大値をとりまで減少する関数です。増加関数の部分の逆関数を,減少関数の部分の逆関数をとすると、
に対して、のときのときです。
各定義域において,また、に注意してください。

y軸の回りの回転体の体積なので、普通は外側から内側を引き、y方向に積分して、
とするわけですが、この問題で与えられているでは逆関数が求められないので、と置換して積分を行います。
より、
の積分では、yのとき、x
の積分では、
yのとき、x
ここで部分積分法を用いて、
となります。この結果を利用して、
とおくと、
xのとき、t
......[]



[5](解答はこちら) 本問は、上手に解答しようと思えば、より鮮やかな解法を工夫することが可能な問題ですが、私は、こうした問題は、多少時間をかけても安全な手順で確実に解いていく方が実戦的だと思います。
解答では、シラミつぶしで調べる
k6通りに限って調べる、という方針で書いてありますが、という制約の中でに限られる、という方針で進めば、2通りですみます(解答中のB式を見ながら各自工夫してみてください)
試験会場で、
2通りの場合分けですむ解法を思いつければそれで解答すればよいし、6通りの場合分けが必要になってしまってもそれで解答すればよいのです。6通りを2通りですまないか、と深追いしてしまうと、6通りの場合分けで解答する時間の方が短かった、ということになりかねません。
ただ、もし、
50通りを調べなければいけないのだとしたら、これを10通り程度にできないか、工夫する必要はあるでしょう。
整数問題では、こうした見極めが重要で、日常的な学習の中で、この解法で解くとどれくらいの時間がかかるか、また、解法を思いつくのにどれくらいの時間がかかるか、という問題意識を持つようにして、模試を受けるときなどに試してみるようにしてください。
本問は、
[3]ほどではありませんが、問題文を見るなり即、整数問題と判断できるわけではなく、問題文を読解して何を考えるべきか、というところから始める必要があります。数学の入試問題は物理の入試問題に比べれば遙かに短文ですが、俳句や詩を読んで情景を思い浮かべるのと共通するイメージ力が必要で、東大数学では特に言えることです。理工系難関大を目指す諸氏は、国語の授業中に、俳句など関係ないと思い込んで居眠りをしてしまう、ということがないようにしてください。
本問はまた、より鮮やかな解法にこだわり過ぎたり、短時間であっさりと処理しようと焦ったりすると、題意の解釈に想定以上の多大な時間をかけてしまう、という失敗をしかねない問題だと言うこともできます。試験会場で、多少ヘタでも、多少時間がかかっても、制限時間内に合格ラインに届く点数が取れればよい、という割り切りをすることは、受験生が、将来、技術開発者・研究者として、限られた時間的予算的制約を受けて科学の第一線で活躍する上でも大切なことです。




[6](解答はこちら) 本問は、ほぼ、1次結合と内積、相似比だけで解答できてしまうので、特殊な受験技巧を使うようなところはありません。解答では無理矢理にメネラウスの定理も使いましたが、使わなくても解答可能です。最大値も2次関数なので基本的と言えるでしょう。特別な勉強をしていなかった受験生でもコツコツやっていけば最終解答にたどりつくことができると思います。ですが、(3)まで正解できた受験生は極めて少数ではないでしょうか。
東大理系では、息の長い思考が要求される問題は、毎年出題されていますが、本問のように、やることがはっきりしていて、手間のかかる処理だけが延々と続く、というタイプの問題は珍しいと言えます。強いて言えば、面倒な計算をさせられる微積の問題はあり得ますが、これは計算能力を見よう、ということでしょう。
本問については、空間ベクトルの問題なので仕方がないと言うべきか、あるいは、忍耐力のない学生に見かねた出題者が出題方針を変えたのか、わかりませんが、今年の東大受験生は大変だっただろうと思います。本問の
(2)(3)に取り組んで膨大な時間をかけたのにもかかわらずミスに終わった受験生が涙を飲み、さっさと放棄して他の問題に向かった受験生がガッツ・ポーズする、という構図は、素直に受け入れられるものではない気がします。
他の国立大学では、面倒な処理をこなせる持久力を見よう、という問題も見かけますが、合格者に違った能力を要求しているのだろうと好意的に受け取ることもできます。ですが、東大理系では、もう少し工夫した出題を考えてもらえないものか、と、感じます。言うは易く実現は困難ですが、解いていて楽しくなり、それでいて奥深さがあって、数学の思考力も要求される、という、全国の受験生が東大理系を目指してみよう、という気持ちを奮い立たせてくれるような、
'08年前期[5]のような問題が理想です。空間図形であれば、少々難度の高い問題ですが、'96年前期[3]'90年前期[3]のような問題を考案して頂くように願っています。



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