東大文系数学'08前期[2]

白黒2種類のカードがたくさんある。そのうち4枚を手もとに持っているとき、次の操作(A)を考える。
(A) 手持ちの4枚の中から1枚を、等確率で選び出し、それを違う色のカードにとりかえる。
最初に持っている4枚のカードは、白黒それぞれ2枚であったとする。以下の(1)(2)に答えよ。
(1) 操作(A)4回繰り返した後に初めて、4枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。
(2) 操作(A)n回繰り返した後に初めて、4枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。

解答 理系前期[2](1)の部分を1題にした問題です。ケアレスや勘違いのないように慎重に考えましょう。理系前期[2]も参考にしてください。

(1) 1回目に白を引く(白は4枚中2枚あるので、確率)と、白が黒に変わって、白1枚、黒3枚となり、さらに2回目に白を引く(白は4枚中1枚あるので、確率)と全て黒になります。この確率は、 (独立試行の確率を参照)
このとき、2回目に黒を引く(黒は4枚中3枚あるので、確率)と、元の状態に戻ってしまいます。この確率は、
白と黒が逆になった場合も同じで、
2回の操作で、4枚とも同じ色になる確率は、
2回の操作で元の状態に戻る確率が、
初めて
4枚とも同じ色のカードになる確率」を聞いているので、2回の操作で4枚とも同じ色になってしまった以降を考える必要はありません。
3回目の操作と4回目の操作では、1回目、2回目のときと同じことが起こります。つまり、3回目、4回目の2回の操作で、4枚とも同じ色になる確率は,元に戻る確率はです。
1回目、2回目の操作で元に戻ってしまう状況下で、3回目、4回目を考えるので、1回目、2回目、と、3回目、4回目、における結果は独立に起こります。
従って、
1回目、2回目で元に戻り、3回目、4回目で4枚とも同じ色になる確率として、求める確率は、 ......[]

(2) この後、同様のことが繰り返されて、mを自然数として、回操作を行うと、4枚とも同じ色になるか、元の状態に戻ります。一度、4枚とも同じ色になってしまうと、それ以降は考える必要はありません。
回の操作で元の状態に戻る確率は、
回の操作で
4枚とも同じ色になる確率は、回目に元の状態で、その後の2回の操作で、同じ色を2回引いた場合です。その確率は、より、
回目には、片方が3枚で、他方が1枚となり、4枚とも同じ色になることはありません。
よって、
n回の操作で、4枚とも同じ色になる確率は、
......[]


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