東京大学文系2008年前期数学入試問題

[1]
  をみたす実数αβ 2次式 について、 が成立しているとする。このとき定積分αの式で表し、Sがとりうる値の最大値を求めよ。
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[2]  白黒2種類のカードがたくさんある。そのうち4枚を手もとに持っているとき、次の操作(A)を考える。
(A) 手持ちの4枚の中から1枚を、等確率で選び出し、それを違う色のカードにとりかえる。
最初に持っている4枚のカードは、白黒それぞれ2枚であったとする。以下の(1)(2)に答えよ。
(1) 操作(A)4回繰り返した後に初めて、4枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。
(2) 操作(A)n回繰り返した後に初めて、4枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。
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[3]  座標平面上の3ABCに対し、をみたす点Pの軌跡を求めよ。ただし、とする。
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[4]  pを自然数とする。次の関係式で定められる数列を考える。
(1) に対し、次の2つの数がともにで割り切れることを示せ。
(2) p3以上の奇数とする。このとき、で割り切れるが、では割り切れないことを示せ。
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