東大理系数学'06年前期[6]

を定義域とする関数について、以下の問いに答えよ。
(1) 関数 ()は、実数全体を定義域とする逆関数を持つことを示せ。すなわち、任意の実数aに対して、となるがただ1つ存在することを示せ。
(2) 前問(1)で定められた逆関数を ()とする。このとき、定積分を求めよ。

解答 逆関数と言っても、元の関数とグラフのx軸,y軸が逆になるというだけなので、怖がらないようにしましょう。

(1)  (商の微分法を参照)
分子
よって、 ()
よって、において、単調増加な関数です。
の分子はのときですが、の分母はとするとき、正の数として
0に近づくので、
また、のとき、より、
以上より、任意の実数
aに対して、となるがただ1つ存在し、は実数全体を定義域とする逆関数をもちます。

(2) 逆関数のグラフは、のグラフと直線に関して対称で、のグラフのx軸とy軸を逆にしたものと考えることができます。
のとき、という関係があります。
求める定積分は、のグラフのの部分と
x軸との間に挟まれた部分の面積です(定積分と面積を参照)
となるについて、が成り立ちます。の定義域がであることから、であることに注意してください。

(より)とおいて、
分母を払って整理すると、

このうち、に適するものは、
(より)とおいて、
分母を払って整理すると、

このうち、に適するものは、
以上より、求める定積分は、のグラフのの部分とy軸との間に挟まれた部分(右図斜線部)の面積に相当します。
この面積は、原点
O4点を頂点とする長方形の面積から、原点O4点を頂点とする長方形の面積と、のグラフのの部分とx軸の間に挟まれた部分の面積を除いた面積に相当します。よって、
の積分について(置換積分法を参照)は、とおくと、より、
xのとき、t
 (分数関数の積分を参照)



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