東大理系数学'06年前期[5]

とし、数列を漸化式
  ()
によって定める。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) に対し、とおく。
のとき、となることを示せ。
(2) を求めよ。
(3) を求めよ。

解答 難問というわけではないですが、それなりに工夫を凝らす必要があって一本道ではありません。なお数列を参照してください。

(1) より、 ・・・@
 () ・・・A より、
 ・・・B
Aより、で、ならで帰納的に、に対して、 ・・・C (数学的帰納法を参照)
よって、についても、に対して、
これと、Bより、
@を用いて、のとき、

(2) Cより、 ・・・D
また、(1)より、
これより、のとき、
 ・・・E

ところで、のとき、なるxについて、
等号は恒等的に成り立つわけではないので、
について加え、さらに、を用いて、左辺にを加え、中辺と右辺に1を加えると、
 (階段関数と不等式を参照)
左辺は、 (不定積分の公式を参照)
右辺は、
各辺をnで割ると、
 ・・・F

とおくと、
x0
4
×0
×
増減表より、
両辺をx ()で割ると、
ここで、とすることにより、
よって、
はさみうちの原理より、
これより、Fの左辺と右辺は、のとき、だから、ともに
0に近づく。
はさみうちの原理より、Fの中辺についても、
 ・・・G
D,Eを用いて、
さらに、はさみうちの原理より、
......[]

(3) (1)よりが言えているので、 ・・・H
従って、となるで、となるものを探せばよいのです。
このためには、,つまり、という形の不等式をひねり出さないといけません。
Bをながめていると、を利用すれば、この形が作れそうです。

Bにおいて、のとき、より、
@を用いて、のとき、

これより、
これと、Hから、
Gを使うと、左辺は、のとき、
よって、はさみうちの原理より、 ......[]


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