東大理系数学'06年前期[3]

Oを原点とする座標平面上に、y軸上の点Pと、直線mが与えられている。ここで、とする。
いま、傾きが
aの直線lを対称軸とする対称移動を行うと、原点Oは直線上の、第1象限の点Qに移り、y軸上の点Pは直線m上の、第1象限の点Rに移った。
(1) このとき、apで表せ。
(2) 次の条件を満たす点Pが存在することを示し、そのときのpの値を求めよ。
条件:どのようなq ()に対しても、原点を通り直線lに垂直な直線はとなる。

解答 気力を充実させて、ただひたすら計算をする問題です。なお、座標平面における対称を参照してください。

(1) 直線lの方程式をQx座標をqRx座標をrとする。
題意より、,またm上にない点Plに関する対称点がm上に来ることから、
Oと点Qが直線lに関して対称だから、

 ・・・@
Pと点Rが直線lに関して対称だから、
前者より、 () ・・・A
後者から@を引いて、

 ()
これをAに代入すると、
分母を払って、


......[]

(2) が出てくるので正接に関する3倍角の公式を導いておきます。
 (2倍角の公式を参照)

 ・・・B
条件より、 (2直線の平行・垂直を参照)
 ・・・C
Bにおいて、として、
(1)の結果を用いて、
分母を払うと、
展開して整理すると、
 ・・・D
q aの間には、Cという関係があるので、Dが、q にかかわらず、すなわち、aにかかわらず成立するためには、 ......[]
Pとすれば、任意のq ()に対してCが成立するようにaをとれば、直線lが垂直になり、与えられた条件が成立するので、点Pは存在します。


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