東大理系数学'03年前期[6]

円周率が3.05より大きいことを証明せよ。

解答 いろいろ考えられますが、円に内接する正多角形の周の長さを考えるのがやはり一番簡単です。
を示しただけでは、を示したことにはならないので注意。だとして、を示さなければなりません。なお、
条件・命題を参照してください。

まず、半径
1の円に内接する正方形を考えてみます。
半径
1の円の円周の長さはです。
半径
1の円に内接する正方形の1辺の長さはです。正方形の周の長さは4辺で
円周の長さは、円に内接する正方形の周の長さよりも長いので、ですが、これでは、が示せません。

次に、半径
1の円に内接する正六角形を考えてみます。
この正六角形の
1辺の長さは1です。正六角形の周の長さは6辺で6
円周の長さは、円に内接する正六角形の週の長さよりも長いので、ですが、これでも、は示せません。

今度は、半径
1の円に内接する正八角形を考えてみます。
この正八角形の
1辺の長さは、中心からこの1辺に垂線を下ろすと垂線の足はこの1辺の中点なので、
 (三角比一般角を参照)
より、
()
従って、正八角形の周の長さは8辺で、
円周の長さは、円に内接する正八角形の周の長さより長いので、
というわけで、を言うためには、,つまり、が言えればよいわけです。
2乗すると、,移項して、
さらに
2乗して、

答案としては、

半径
1の円周は、この円に内接する正八角形の周の長さより長いから、
ところで、




のようにまとめればよいでしょう。


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