東大理系数学'03年前期[3]

xyz空間において、平面上の原点を中心とする半径2の円を底面とし、点を頂点とする円錐をAとする。
次に、平面上の点を中心とする半径
1の円をH,平面上の点を中心とする半径1の円をKとする。HK2つの底面とする円柱をBとする。円錐Aと円柱Bの共通部分をCとする。を満たす実数tに対し、平面によるCの切り口の面積をとおく。
(1) とする。のとき、q で表せ。
(2) Cの体積を求めよ。

解答 2円の位置関係を場合わけして断面積を考えますが、結局、同じ式になります。積分計算はかなり面倒です。
なお、図形と方程式や三角関数を復習される方は、
円の方程式三角関数を参照してください。扇形の面積については、一般角を、積分に関しては、不定積分の公式を参照してください。

(1) 平面によるCの切り口をz軸と垂直にxy平面上まで平行移動させると右図斜線部のようになります(立体を真上から見た図だと思ってください)
円錐Ay軸負方向から眺めると、稜線は、右下図のように、直線 ・・・@ に重なって見えます。@において、のとき、
円錐Aで切った部分に相当するのは、円: ・・・A
円柱
Bで切った部分に相当するのは、円: ・・・B
2円の交点DEx座標は、A,Bを連立して、
ここで、
PFとします。
円Aの半径はなので、右図でです。

2円の位置関係は、 ()の場合、 ()の場合に分かれます。

以下、右上図斜線分の面積のうち、線分
DEから右側の部分の面積を,左側の面積をとします。
a) のとき、2円の位置関係は右図のようになります。
は、扇形ODEから三角形ODEを除いた部分(右図で黄色く塗られた部分)の面積で、
また、中心角は円周角の2倍なので、
は、円Bから
扇形PDEから三角形PDEを除いた部分を除いた部分(右図で黄緑色に塗られた部分)の面積で、

b) のとき、2円の位置関係は右図のようになります。

a)の場合と同じです。
は扇形
PDEから三角形PDEを除いた部分の面積で、
これもa)の場合と同じです。

よって、
......[]

(2) Cの体積は、 (定積分と体積を参照)
q の式で与えられているので、置換積分を行い、tの積分をq の積分に直します。
を微分して、

t
のとき、q
よって、
 (部分積分法を参照)

 (です)


.......[]


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