東大理系数学'03年前期[2]

Oを原点とする複素数平面上で6を表す点をAを表す点をBとする。ただし、iは虚数単位である。正の実数tに対し、を表す点Pをとる。
(1) を求めよ。
(2) 線分OPの長さが最大になるtを求めよ。

解答 この問題は現在の指導要領では高校範囲外です。

(1) とおきます。です。は、複素数の偏角です。

(偏角分母の実数化参照)
よって、 ......[]

(2) 無方針にやっても計算が大変です。複素数zの分母:は、のときに実数になり、のときに純虚数になります。このとき、zが簡単な値になります。
そこで、としてみると、となり、このとき点Pは点Aに来ます。
としてみると、となり、このとき点
Pは点Cに来ます。
また、としてみると、となり、このとき点
Pは原点Oに来ます。
一方、
(1)より、で一定なので、点Pの軌跡は円です。
ということは、点
Pの軌跡の円は、直角三角形OACの外接円だということです。
この外接円の中心は
ACの中点で、OPがこの外接円の直径になるときにOPの長さが最大で、このとき、OPの中点がなので、
分母を払うと、
......[]

別解 tについて解くと、
tが実数 より、 (共役複素数を参照)
分母を払うと、
整理して、

これでPの軌跡がを中心とする半径5の円とわかります。


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