東京大学理系2002年前期数学入試問題

[1]
 2つの放物線

が相異なる2点で交わるような一般角q の範囲を求めよ。
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[2] nは正の整数とする。で割った余りを
とおく。
(1) 数列
を満たすことを示せ。
(2) に対して、は共に正の整数で、互いに素であることを証明せよ。
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[3] xyz空間内の原点Oを中心とし、点Aを通る球面をSとする。Sの外側にある点Pに対し、OPを直径とする球面とSとの交わりとして得られる円を含む平面をLとする。点Pと点Aから平面Lへ下した垂線の足をそれぞれQRとする。このとき、
であるような点Pの動く範囲Vを求め、Vの体積は10より小さいことを示せ。
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[4] aは正の実数とする。xy平面のy軸上に点Pをとる。関数
のグラフをCとする。C上の点Qで次の条件を満たすものが原点O以外に存在するようなaの範囲を求めよ。
条件:QにおけるCの接線が直線PQと直交する。
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[5] Oを原点とするxyz空間に点,をとる。また、z軸上の部分に、点を線分の長さが1になるようにとる。三角錐の体積をとおいて、極限
を求めよ。
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[6] Nを正の整数とする。個の項からなる数列

という数列に並べ替える操作を「シャッフル」と呼ぶことにする。並べ替えた数列はを初項とし、の次にの次にが来るようなものになる。また、数列をシャッフルしたときに得られる数列において、数kが現れる位置をで表す。
たとえば、のとき、をシャッフルするととなるので、である。

(1) 数列3回シャッフルしたときに得られる数列を求めよ。
(2) を満たす任意の整数kに対し、で割り切れることを示せ。
(3) nを正の整数とし、のときを考える。数列回シャッフルすると、にもどることを証明せよ。
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