東工大数学'22年前期[4]

aは正の実数とする。複素数zかつを満たしながら動くとき、複素数平面上の点が描く図形をKとする。このとき、次の問いに答えよ。

(1) Kが円となるためのaの条件を求めよ。また、そのときKの中心が表す複素数とKの半径を、それぞれaを用いて表せ。

(2) a(1)の条件を満たしながら動くとき、虚軸に平行で円Kの直径となる線分が通過する領域を複素数平面上に図示せよ。

解答 (1)は、複素数の計算は面倒ですが平凡です(アポロニウスの円を考えても答えられます)(2)は媒介変数消去に難航するかも知れません。

zwの満たす式は、
 ・・・@
 ・・・A

(1) Aをzについて解き直します(複素数の図形的応用を参照)


これを@に代入すると、

なので、



 ・・・B
ここで、とすると、
これは、
wの実部がであることを意味し、Kが円にならないので、です。Bをについて整理すると、
なので、で割ると、
 ・・・C
C式第2項の分子について、
より、Cは、
より、
これは円を表し、Kの方程式です。よって、Kが円となるための条件は、 () ......[]
円の中心は、,半径は、 ......[]

(2) 円の中心は実数で、円Kの中心は実軸上にあるので、円Kの虚軸に平行な直径は、実軸に関して対称で、円の半径がであることから、直径両端の虚部は、です。直径上の点の虚部yは、

 ・・・D
直径の中点、即ち円の中心の実部は、 ・・・E
Dの右辺は、Cの第
2項を見ると、
Dより、


 ・・・F
Eで、 ()とおくとのときよりであって、
このグラフをxt平面上に描くと(右上図)、グラフより、においてはにおいては
Fの境界線:
双曲線であって、漸近線は,また、のとき
以上より求める領域を複素数平面上に図示すると右下図黄緑色着色部
(境界線上を含み、白マルを除く)



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