東工大数学'22年前期[2]

3つの正の整数abcの最大公約数が1であるとき、次の問いに答えよ。
(1) の最大公約数が1であることを示せ。
(2) の最大公約数となるような正の整数をすべて求めよ。

解答 (1)は、「最大公約数1」と考えると難しいので、否定を考え、「最大公約数が1でない」、つまり、「2以上の最大公約数をもつ」と仮定すると誤りになることを導き、背理法で証明します。(2)は難問です。ここでは調べる対象を限定した上でシラミ潰しでやってみます。

(1) 2以上の公約数mを持つと仮定します。defを自然数として、
とおけます。abc3次方程式

 ・・・@
の解です。
は@の解なので、
よって、
つまり、
amの倍数です。
は@の解なので、
よって、
つまり、
bmの倍数です。
は@の解なので、
よって、
つまり、
cmの倍数です。
よって、
abc2以上の公約数mを持つことになり、最大公約数が1という条件と矛盾します。よって、2以上の公約数mを持つとした仮定は誤りです。即ち、の最大公約数は1です。

(2) とおくと、(1)より、klmの最大公約数は1です。
因数分解の公式より、
ここで、kndが公約数jを持つとすると、pqrを自然数として、
 ・・・A
とおけます。
 ∴  ・・・B
 ・・・C
 ・・・D
j5よりも大きい素数(つまり、knd5以上の素数jを公約数に持つ)だとすると、j23と互いに素なので、A,B,Dより、klmjの倍数となり(1)に反します。よって、knd5以上の素数を公約数に持ちません。

のとき、A,B,Dより、 ・・・E
これより、
l3の倍数です。rsを自然数として、とおけるとき、Eより、
となりm3の倍数です。このとき、klm3の倍数となり(1)に反します。
よってです。このとき、Aより、
3の倍数ですが、9の倍数ではありません。つまり、kndの最大公約数が9になることはありません。
ここで、とおける
(剰余類を参照)とき、Eより、
より、3で割ると1余る数です。
例えば、のとき、となり
m3で割ると1余りますが、このとき、は、最大公約数3です。
のとき、となり
m3で割ると1余りますが、このとき、の最大公約数は6です。
注.3で割って1余る数になるのは、abcをそれぞれ3で割った余りの組み合わせが、となる場合です。
また、とおけるとき、Eより、
3で割ると2余る数ですが、abcがいずれも3で割って2余る数のとき、3で割ると2余ります。このとき、3の倍数です。例えば、のとき、の最大公約数は6です。
注.3で割って2余る数になるのは、abcをそれぞれ3で割った余りの組み合わせが、となる場合です。

のとき、A,B,Dより、 ・・・F
これより、
kmは偶数ですが、仮にqが偶数だとするとlも偶数で、klmが公約数2をもつことになり(1)に反します。よってqは奇数ですが、このとき、Aで、は偶数ですが4の倍数にはなりません。つまり、kndの最大公約数が4になることはありません。
が偶数で、が奇数となるのは、
abcのいずれか1個だけが偶数、他が奇数の場合です。例えば、の場合、の最大公約数は2です。

以上より、は、
5以上の素数を公約数に持つことはなく、23を公約数に持つことはあっても、を公約数に持つことはなく、最大公約数となる可能性のある正の整数は、1236に限られます。公約数が5以上の素数になることはないので、abc1つが5(5の倍数),例えば、としてみると、の最大公約数は1になります(他にも、のとき、のとき、など)
の最大公約数となるような正の整数は、
1 (例えばのとき)2 (例えばのとき)3 (例えばのとき)6 (例えばのとき) ......[]
注.問題の要求は、最大公約数となる正の整数を求めることで、最大公約数が1236以外にはならないことを示し、最大公約数が1236になる例を各々1つ挙げればよく、どういう場合に最大公約数が1236になるか、ということではないので注意してください。



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