東工大数学'22年前期[1]

abを実数とし、とする。ab
を満たしながら動くとき、を満たす複素数zがとりうる値の範囲を複素数平面上に図示せよ。

解答 複素数を実部xと虚部yに分け、abxyで表してに代入するか、2次方程式の解を考えるか、ですが、2通りのアプローチでやってみます。

(xyは実数)とおくと、
 (複素数の計算を参照)
 ・・・@, ・・・A
(i) のとき、Aは必ず成立します。
@より、
これを
ab平面上の直線と見ると、この直線が、で表される領域を通過する条件(線形計画法を参照)は、として
または ・・・B
または
 ・・・C
が成立することです
(以下、2次不等式を参照)
Cより、
 ・・・D
Bより、
かつ
は必ず成立します。
より、 ・・・E
Bより、
かつ
は必ず成立します。
より、 ・・・F
EまたはFが成立すればよい
(EかつFではないので注意)ので、
 ・・・G
これはDの範囲を含むのでGだけ考えればOKです。
(ii) のとき、Aより、
より、 ・・・H
@でとして、
より、
より、 ・・・I
求めるの存在範囲(不等式の表す領域を参照)は、"かつG"または"かつHかつI"です。図示すると、右図黄緑色着色部(境界線と太線を含む)

[別解] の解を考えても解答できます(2次方程式を参照)
 ・・・J
(i) のときJは実数解をもち、 (実数)
より、
よって、このときの
zの存在範囲は、実軸上の
の部分です。
(ii) のときJは虚数解をもち、
(xyは実数)とすると、
より
また、より、
より、
求める領域は(i)の結果と(ii)の結果を合わせた領域です。



   東工大数学TOP   数学TOP   TOPページに戻る

各問題の著作権は出題大学に属します。
©2005-2022
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元