東京工業大学2021年前期数学入試問題

[1] 正の整数に関する条件
() 10進法で表したときに、どの位にも数字9が現れない
を考える。以下の問いに答えよ。
(1) kを正の整数とするとき、以上かつ未満であって条件()を満たす正の整数の個数をとする。このとき、kの式で表せ。
(2) 正の整数nに対して、
とおく。このとき、すべての正の整数kに対して次の不等式が成り立つことを示せ。
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[2] xy平面上の楕円
E
について、以下の問いに答えよ。
(1) abを実数とする。直線と楕円Eが異なる2点を共有するためのabの条件を求めよ。
(2) 実数abcに対して、直線と直線mがそれぞれ楕円Eと異なる2点を共有しているとする。ただし、とする。直線と楕円E2つの共有点のうちx座標の小さい方をP,大きい方をQとする。また、直線mと楕円E2つの共有点のうちx座標の小さい方をS,大きい方をRとする。このとき、等式
が成り立つためのabcの条件を求めよ。
(3) 楕円E上の4点の組で、それらを4頂点とする四角形が正方形であるものをすべて求めよ。
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[3] 以下の問いに答えよ。
(1) 正の整数nに対して、二項係数に関する次の等式を示せ。
また、これを用いての倍数であることを示せ。
(2) 正の整数nに対して、
とおく。このとき、ならばであることを示せ。
(3) が素数となる正の整数nをすべて求めよ。
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[4] Sを、座標空間内の原点Oを中心とする半径1の球面とする。S上を動く点ABCDに対して
とおく。以下の問いに答えよ。
(1) とするとき、によらない定数kによって
と書けることを示し、定数kを求めよ。
(2) ABCDが球面S上を動くときの、Fの最大値Mを求めよ。
(3) Cの座標が,点Dの座標がであるとき、となるS上の点ABの組をすべて求めよ。
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[5] xy平面上の円C を考える。以下の問いに答えよ。
(1) Cで表される領域に含まれるためのaの範囲を求めよ。
(2) Cで表される領域に含まれるためのaの範囲を求めよ。
(3) a(2)の範囲にあるとする。xy平面において連立不等式
で表される領域Dを、y軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。
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