東京工業大学2020年前期数学入試問題

[1] 次の問いに答えよ。
(1) の値が、3を法として2に合同である正の整数xをすべて求めよ。
(2) k個の連続した正の整数,・・・,に対して、
()
の値がすべて素数になるkの最大値と、そのkに対する連続した正の整数,・・・,をすべて求めよ。ここでk個の連続した整数とは、
,・・・,
となる列のことである。
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[2] 複素数平面上の異なる3ABCを複素数αβγで表す。ここでABCは同一直線上にないと仮定する。
(1) ABCが正三角形となる必要十分条件は、
であることを示せ。
(2) ABCが正三角形のとき、△ABCの外接円上の点Pを任意にとる。このとき、
および
を外接円の半径Rを用いて表せ。ただし、2XYに対し、XYとは線分XYの長さを表す。
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[3] 座標空間に5
OABCP
をとる。さらに、に対して2QRを考える。
(1) PQRを通る平面をHとする。平面Hと線分ACの交点Tの座標、および平面Hと線分BCの交点Sの座標を求めよ。
(2) QRSTが同一円周上あるための必要十分条件をabを用いて表し、それを満たす点の範囲を座標平面上に図示せよ。
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[4] nを正の奇数とする。曲線 ()x軸で囲まれた部分をとする。直線とおき、の周りに1回転させてできる回転体をとする。
(1) に対して、点Pとおく。また、Pからに下ろした垂線とx軸の交点をQとする。線分PQの周りに1回転させてできる図形の面積をxの式で表せ。
(2) (1)の結果を用いて、回転体の体積をnの式で表せ。
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[5] kを正の整数とし、とおく。
(1) kを用いて表せ。
(2) kを限りなく大きくするとき、数列の極限値Aを求めよ。
(3) (2)の極限値Aに対し、kを限りなく大きくするとき、数列
0ではない値に収束するmn ()を求めよ。また、そのときの極限値Bを求めよ。
(4) (2)(3)の極限値ABに対し、kを限りなく大きくするとき、数列
0ではない値に収束する整数pqr ()を求めよ。また、そのときの極限値を求めよ。
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