東工大数学'12前期[6]

xyz空間に4PABCをとる。四面体PABCをみたす部分の体積を求めよ。

解答 断面積を積分するだけの体積の問題ですが、なかなかスンナリとはいきません。東大理系05年前期[6],東大理系98年前期[6]と似ていますが、本問の方がやや難しい印象を受けます。

四面体
PABCをみたす部分をTとします。
平面で切ったときの断面を考えます。
四面体を平面で切ると、断面は右上図の正三角形
DEFとなり、図形Tの断面は黄色着色部となります。この面積は、対称性を考え、z軸と平面との交点をとして、正三角形DEFの面積から、扇形の面積と三角形の面積の和の3倍を引いたものになります。
右下図で、直線
PAの方程式は、
 ・・・@
の境界線でとしてとなるので、図形Tが存在するzの範囲の上端は@でとして、,よって、図形Tは、の部分に存在します。
Dy座標は@でとして、
から
EFに下ろした垂線の足をJとすると、

正三角形DEFの面積は、
とすると(θ のとり方は、後でkの積分をθ の積分に置換積分することを考慮して選ぶようにします。本問では、ここが重要なポイントです)、三角形の面積は、より、
 (三角形の面積を参照)
扇形の面積は、より、
 (弧度法を参照)
θ kとの関係は、より、
 ・・・A
図形
Tの体積Vは、
 (定積分と体積を参照)
1項の積分は、
2項、第3項の積分は、Aによって置換積分することにより、

kのとき、θ
 
(部分積分法を参照)
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