東工大数学'12前期[5]

行列で定まる1次変換をf とする。原点Oと異なる任意の2PQに対してが成り立つ。ただし、はそれぞれPQf による像を表す。
(1) を示せ。
(2) 1次変換f により、点が点に移るとき、Aを求めよ。

解答 直交変換(1次変換(その2)を参照)を題材とする問題で、慶大理工'09[B1]にも類題が出題されています。
問題文中というのは、原点以外の任意の点
Pについて、が一定だということです。

(1)  ・・・@
()OPx軸とがなす角をθ とすると、Pの座標はと表せます。
 (行列の積を参照)
より、の座標は、
@より、任意の角
θ について、
ここで、とおくと、
 (半角の公式を参照)
これが、任意の角θ について成立するために、
 ・・・A
なぜなら、でなければ、より、
 (三角関数の合成を参照)
が、一定値となることはありません。
Aより、、即ち、 ・・・B
また、 ・・・C が成り立ちます。

(2) Bより、 ()として、とおくことができます。Cより、ABとして、です(内積を参照)
これより、 (複号同順)となります。よって、
 (複号同順) ・・・D

 ・・・E, ・・・F
Fより、
Eに代入すると、
 (複号同順)

Fより、 ∴
Dに代入して、
 (複号同順) ......[]


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