東工大数学'12前期[4]

nを正の整数とする。数列
 ()
によって定める。
(1) およびを求めよ。
(2) 一般項を求めよ。
(3) とおくとき、を示せ。

解答 (1)の形を予測して、(2)で予測が正しいことを数学的帰納法で示す、というありきたりの問題ですが、数学的帰納法の書き方に少々工夫が必要です。(3)でも、区分求積法に持ち込むのに工夫が必要です。

(1) 漸化式において、として、
......[]
与漸化式において、として、



......[]

(2) (1)より、
と予測できます。予測が正しいことを数学的帰納法で示します。
(T) のとき、より、成り立ちます。
(U)のとき、
が成り立つと仮定します。
与漸化式において、として、
 (数列の求和技法を参照)

よって、予測はのときにも成り立ちます。
(T)(U)より、予測は、において成り立ちます。
......[]
注.(U)で、の中で、,・・・,も使うので、「のとき予測が成り立つ」と仮定してはいけないことに注意してください。

(3)
ここで、
としてしまうと、区分求積法に持ち込むことができません。和をとっているので、のときに、の違いによる差が積み上がって結果に違いが出るかもしれないからです。そこで、はさみうちにすることを考えます。

より、
従って、
ここで、とすると、
 (区分求積法を参照)
よって、はさみうちの原理により、となります。
注.区分求積法 において、であっても、が有限確定値であれば、
です。極端なことを言えば、jmが整数の定数()だとして、においてが有限確定値であれば、
ここで、より、
です。の場合などもが有限確定値であれば同様です。


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