東工大数学'12前期[3]

3次関数のグラフをC,直線lとする。
(1) Clが原点以外の共有点をもつような実数aの範囲を求めよ。
(2) a(1)で求めた範囲内にあるとき、Clによって囲まれる部分の面積をとする。が最小となるaの値を求めよ。

解答 解と係数の関係を利用するとしても、aの関数とするのでは複雑になるので、かなり面倒です。

C ・・・@
l ・・・A

(1) @,Aを連立して、

 ・・・B
原点以外の共有点をもつとき、この方程式は、以外の解をもちます。つまり、2次方程式
 ・・・C
が、を重解とすることがない、または、相異なる2実数解をもちます。
を解にもつとき、よりですが、このとき、
より、も解になるので、Clは原点以外の共有点をもちます。のとき、3次方程式Bは、を重解にもつので、Clは、で接し、で交わります。 ・・・D
2次方程式Cが相異なる実数解をもつとき、
判別式: (2次関数の一般論を参照)

以上より、Clが原点以外の共有点をもつような実数aの範囲は、 ......[]
のとき、Cは、重解をもちます。 ・・・E

(2) のとき、2次方程式Cの2実数解をαβ として、解と係数の関係より、

 ・・・F
2次方程式Cは、(i) のとき、より、Cは正負2解をもちます。 (ii) のとき、よりと合わせて、Cは正の解2解をもちます。
(i) のとき、Cの正の解をβ として、においてlCの上に来るので、Clによって囲まれる部分の面積は、
ここで、β aを用いて表せればよいのですが、Fを用いると根号を含む複雑な式になってしまいます。
より
(Dに注意)なので、は、β 増加関数で、また、β aの増加関数です。そこで、Fを用いて、β の関数と考えることにします。
とおくと、
() (微分・導関数関数の増減を参照)
より、β の増加関数です。においては、
 ・・・G
(ii) のとき、Cの正の解2解をαβ ()とします。Fが成り立ちます。
このとき、は、において正でClの上にあり、において負でlCの上にあるので、




とおきます。
(i)と同様に、Cでとして(Eに注意)より、 (で重解の場合は、)なので、β の関数として考えます。この場合も、は、β の増加関数で、β aの増加関数です。また、のとき、です。


とすると、
より、増減表は、



3
00




のとき、最小です。
とGとから、は、のとき最小で、このとき、より、Fを用いて、
が最小となるaは、 ......[]


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