東工大数学'12前期[2]

(1) として、の桁数を求めよ。
(2) 実数aに対して、aを越えない最大の整数をで表す。10000以下の正の整数nnの約数となるものは何個あるか。

解答 (1)常用対数の基本問題、(2)も入試でよく見かける題材です。

(1)

各辺にを加えて、


各辺から1を引いて、



よって、の桁数は、48 ......[]

(2) まず、として、実験してみます。
n123456789101112131415161718192021222324
111222223333333444444444

××××××××××××

表中で、○は、nの約数であること、×は、約数でないことを表します。
表から、
kを自然数として、の範囲の中に、整数nnの約数となるものが、3個あることがわかります。
の範囲内には、
()の範囲に各3個ずつ、さらに、のとき、の約数になるので、
......[]


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