東京工業大学2012年前期数学入試問題

[1] (1) 辺の長さが1である正四面体OABCにおいて辺ABの中点をD,辺OCの中点をEとする。2つのベクトルとの内積を求めよ。
(2) 1から6までの目がそれぞれの確率で出るさいころを同時に3個投げるとき、目の積が10の倍数になる確率を求めよ。
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[2] (1) として、の桁数を求めよ。
(2) 実数aに対して、aを越えない最大の整数をで表す。10000以下の正の整数nnの約数となるものは何個あるか。
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[3] 3次関数のグラフをC,直線lとする。
(1) Clが原点以外の共有点をもつような実数aの範囲を求めよ。
(2) a(1)で求めた範囲内にあるとき、Clによって囲まれる部分の面積をとする。が最小となるaの値を求めよ。
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[4] nを正の整数とする。数列
 ()
によって定める。
(1) およびを求めよ。
(2) 一般項を求めよ。
(3) とおくとき、を示せ。
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[5] 行列で定まる1次変換をf とする。原点Oと異なる任意の2PQに対してが成り立つ。ただし、はそれぞれPQf による像を表す。
(1) を示せ。
(2) 1次変換f により、点が点に移るとき、Aを求めよ。
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[6] xyz空間に4PABCをとる。四面体PABCをみたす部分の体積を求めよ。
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