東京工業大学2008年前期数学入試問題

[1]
 正の実数abに対し、で定義された2つの関数のグラフが1点で接するとする。
(1) 接点の座標aを用いて表せ。また、baの関数として表せ。
(2) をみたすhに対し、直線および2つの曲線で囲まれる領域の面積をとする。aで表せ。
[解答へ]


[2] 実数xに対し、x以上の最小の整数をとする。abを正の実数とするとき、極限
   
が収束するような実数
cの最大値と、そのときの極限値を求めよ。
[解答へ]


[3] いびつなサイコロがあり、1から6までのそれぞれの目が出る確率がとは限らないとする。このサイコロを2回ふったとき同じ目が出る確率をPとし、1回目に奇数、2回目に偶数の目が出る確率をQとする。
(1) であることを示せ。また、等号が成立するための必要十分条件を求めよ。
(2) であることを示せ。
[解答へ]


[4] 平面の原点Oを端点とし、x軸となす角がそれぞれ、a (ただし)である半直線をとする。上に点P上に点Qを線分PQの長さが1となるようにとり、点Rを、直線PQに対し原点Oの反対側に△PQRが正三角形になるようにとる。
(1) 線分PQx軸と直交するとき、点Rの座標を求めよ。
(2) 2PQが、線分PQの長さを1に保ったまま上を動くとき、点Rの軌跡はある楕円の一部であることを示せ。
[解答へ]




各問検討

[1](解答はこちら) 指数計算のややこしい計算問題です。東工大は、比較的計算の面倒な問題は出さない方ですが、'02年前期[3]など、たまに出題されるときには、思い切り面倒だったりします。教授が学生の計算力に不満を持ち出すと、面倒な計算問題を出題する、ということをやっているのかも知れません。
ですが、この問題は、計算が面倒なだけで、東工大受験生なら手が止まることはない、ありふれたテーマ:

2曲線が点で接するとき、 かつ
の問題です。理工系大学受験生必須の受験技巧です。これ以外は、ひたすら計算するだけなので、私も、面倒な計算は大の苦手ですが、合格切符を手に入れるために、試験会場では、慎重に計算し、きちんと見直すようにして頂きたいと思います。また、日常から、微積分の計算練習を充分に積んでおくべきだと思います。

この問題でひっかかるのは、の取り扱いです。こんなものは既知として証明不要である、という意見もありますが、私は、時間的余裕があるのであれば、証明をつけておく方が良いと思います。というのは、東大、東工大に合格するような受験生の中には、証明の仕方を記憶している博学の受験生が少なからずいるからです
(ちなみに私は記憶していません。解答のようにして証明法を一々考えます)。記憶していれば、試験会場で、大喜びで答案用紙に書いてくるでしょう。証明が書かれている答案が1枚でもあれば、東工大の先生も、証明の書かれていない答案は減点せざるを得ないだろうと私は思います。ただし、試験会場で証明方法に悩むくらいなら、他の問題に先に取り組む方が得点的には有利だろうと思います。
東工大の問題文は、わざと不明確にして、受験生に現場で悩ませようとしているのではないか、という感じもするので、東工大を目指す方はよく注意してください。



[2](解答はこちら) ぱっと見た目に難問のように見えますが、ガウスの記号で用いる考え方:
nを整数,xを実数として、のとき、 ・・・()
と同様に、この問題のについても、
のとき、
として考えれば、道が開けそうな気がします。ですが、不等式を導いて、はさみうちしようとすると、のときにはうまく行くのですが、のときにはうまく行きません。のときには考え方を変える必要が出てきます。ですが、のときとのときで極限が異なる、というのは、東工大の問題ではよくあることなので、2つの場合で頭を切り換えて、ていねいに調べていけば切り抜けられるでしょう。
もう一つ、この問題でいやらしいのは、「収束するような実数
cの最大値」という聞き方です。以上では収束せず、なら収束する、というように、解答の書き方を工夫する必要があります。

ガウスの記号に関するおもしろい問題を
1つ紹介しておきましょう。ゆっくりと考えてみてください。お茶の水女子大理学部'94年の問題です。
とする。ただし、xのガウス記号でxを超えない最大の整数である。このとき、次の問いに答えよ。
(1) のグラフを描け。
(2) 数直線上で、動点Pから出発して、,・・・,,・・・ という関係で移動を繰り返すとき、以下の問いに答えよ。
(a) のとき、の値を求めよ。
(b) 動点Pの座標,・・・に対し、のとき、が成り立つことを、数学的帰納法で証明せよ。
(c) 動点Pが、異なる2点間を往復運動している場合、その2点を求めよ。
(2)(b)は、(1)のグラフや直線の式を使わずに、の記号を使ったまま、上記の()を使って解答を書いてみてください。


[3](解答はこちら) 確率の問題のように見えて、この問題は不等式の証明の問題です。「受験技巧」というものがあまり好みではない私も、この問題は、見た瞬間に、コーシー・シュワルツの不等式とひらめいて欲しい気がします。(1)で等号成立の必要十分条件を聞いているので、「コーシー・シュワルツの不等式より」では、通らないと思いますが、証明をつけて、等号成立の条件を考察しておけばよいのです。
コーシー・シュワルツの不等式は、
2個のベクトルについて、それぞれのベクトルの大きさの2乗の積は、内積の2乗以上である、というように記憶します。つまり、
 ・・・()
なぜ、こうなるかと言うと、のなす角をq として、
 ()
だからです。高校では、ベクトルは2次元、3次元のベクトルしか扱いませんが、ベクトルは4次元でも、100次元でも構わないので、nを自然数としてn次元のベクトルについて()が成立します。
解答ではの場合について証明をつけておきましたが、高校数学には
6次元ベクトルは登場しないので、2次関数の判別式を用いた証明を書いておきました。()であれば、
という2次方程式について、
が、重解、または、虚数解をもつ 判別式
 (**)
という要領で証明します。難関大学を志望する諸氏は、コーシー・シュワルツの不等式は、2次方程式を利用して証明できる、くらいは、覚えておいても良いのではないでしょうか。
というのは、
2つの関数の内積を、と定義し、関数の大きさ(関数の「大きさ」と言うのも変なので、「ノルム」と言います)を、 として、コーシー・シュワルツの不等式を考える問題があるからです。例えば、'89年早大理工[3]
(i) で連続な関数とする。このとき、すべての実数tに対してが成立することから、次の不等式を導け。
(ii) は、をみたし、かつ導関数で連続とする。このとき、次の不等式(1)(2)を示せ。とする。
(1)
(2)
(iii) (2)の条件のほかにをみたすとする。このとき、次の不等式を示せ。
 () 
(i)は、まさに、コーシー・シュワルツの不等式です。この証明は、が成立することから、t2次方程式:
の判別式Dについて、
として得られます。これが、(**)と全く同じことをしている、ということがおわかり頂けるでしょうか。2次方程式は、高校数学の最初に出てくるので、あまりに基本的で、ないがしろにされがちですが、活躍の場は意外と広いのです。

東工大
[3]では、(2)の証明で2次関数を使います。確率の問題で2次関数、というのが、なかなか発想できないかも知れませんが、2次方程式・2次関数は、いろいろなところに使えて便利な道具です。


[4](解答はこちら) 以前は、東工大は2次曲線をよく取り上げていた(前期では‘96[2]'97[1]'98[4]'02[2])ように思いますが、最近ちょっとご無沙汰でした。
この問題は楕円として難問というわけではありませんが、問題文を読んでいろいろなアプローチが考えられるので、どのアプローチで行くか悩むかも知れません。
2次曲線の問題によっては、対応を誤ると泥沼にはまることになるので、解答方針の選択には神経を使うところです。
この問題でも、回転変換の行列を考えるか、図形的に処理するか、垂直
2等分線を考えるか、いろいろ考えられます。ですが、解法を悩んでいるばかりでは先に進むことができません。とにかく、計算用紙や問題冊子のすみでちょっと計算を始めてみることです。
解答では、反時計回りに角
q 回転することを表す行列を用いて考えましたが、他の方法で解答しても時間的には大差ありません。悩んでいる時間の方がもったいないのです。受験生ごとにクセがあって、得意なアプローチ、得意な解法は異なるので、どの解法が良いのか一概に言うことはできないのです。「2次曲線の問題は○○○で行け」、などと書かれている参考書があるのだとしたら、自分の感性にフィットしている参考書を探さないといけません(時間的制約の強いセンター試験のような場合には、あらかじめ解法を決めておくべきなので、解法を指定してくれている本の方が良いと思います)。理想を言えば、仮に行き詰まっても他の解法に切り替えられる時間的余裕を作ることができる迅速な計算力を磨くべきだ、ということになると思います。
この問題では、文字が
pqaと出てくるので、楕円の方程式を導くときに、どの文字を消去するのか勘違いしないように注意しましょう。aは定数で、pqが変数なので、pqを消去することになります。

楕円がテーマの問題で、解法をよく考えるべき問題を
1つ紹介しておきます。
阪大理工
'01後期[2]
楕円 () 上に点Pをとる。ただし、Pは第2象限にあるとする。点Pにおける楕円の接線をlとし、原点Oを通りlに平行な直線をmとする。直線mと楕円との交点のうち、第1象限にあるものをAとする。点Pを通りmに垂直な直線がmと交わる点をBとする。また、この楕円の焦点でx座標が正であるものをFとする。点Fと点Pを結ぶ直線がmと交わる点をCとする。次の問いに答えよ。
(1) であることを示せ。
(2) であることを示せ。



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