東京工業大学2006年前期数学入試問題

[1]
 以下の問に答えよ。
(1) 自然数nに対しを求めよ。
(2) 次の不等式を示せ。
 ()
(3) aを正の数とし、aを超えない最大の整数をで表す。が奇数のとき次の不等式が成り立つことを示せ。
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[2] 以下の問に答えよ。
(1) abを正の定数とし、とおく。における関数の増減を調べ極値を求めよ。
(2) mを正の定数とし、xy座標平面において条件
(a) ; (b) すべてのに対し
を満たす点からなる領域をDとする。Dの概形を図示せよ。
(3) (2)の領域Dの面積を求めよ。
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[3] 平面上を半径13個の円板が下記の条件(a)(b)を満たしながら動くとき、これら3個の円板の和集合の面積Sの最大値を求めよ。
(a) 3個の円板の中心はいずれも定点Pを中心とする半径1の円周上にある。
(b) 3個の円板すべてが共有する点はPのみである。
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[4] 空間内の四面体ABCDを考える。辺ABBCCDDAの中点を、それぞれKLMNとする。
(1) を示せ。ここにはベクトルの長さを表す。
(2) 四面体ABCDのすべての面が互いに合同であるとする。このときを示せ。
(3) ACの中点をPとし、とする。(2)の仮定のもとで、四面体PKLNの体積を求めよ。
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