東京工業大学2004年前期数学入試問題

[1]
 abを正の実数とする。
(1) 区間における関数の増減を調べよ。
(2) 区間における関数のグラフと相異なる3点で交わるx軸に平行な直線が存在するための必要十分条件を求めよ。
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[2] 次の問いに答えよ。
(1) を連続な偶関数、mを正の整数とするとき、
を証明せよ。
(2) 正の整数mnを満たしているとき、

を証明せよ。
(3) 極限値
を求めよ。
[解答へ]


[3] 3枚のコインPQRがある。PQRの表の出る確率をそれぞれpqrとする。このとき次の操作をn回繰り返す。まず、Pを投げて表が出ればQを、裏が出ればRを選ぶ。次にその選んだコインを投げて、表が出れば赤玉を、裏が出れば白玉をつぼの中に入れる。
(1) n回ともコインQを選び、つぼの中にはk個の赤玉が入っている確率を求めよ。
(2) つぼの中が赤玉だけとなる確率を求めよ。
(3) のとき、つぼの中に何個の赤玉が入っていることがもっとも起こりやすいかを求めよ。
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[4] とする。空間において、点を中心とする半径rの球と点を中心とする半径の球との共通部分の体積をとする。次の問に答えよ。
(1) を求めよ。
(2) rの範囲を動くとき、を最大にするrの値及びの最大値を求めよ。
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