四面体の体積　　　　関連問題
　大学入試で頻出の四面体の体積を考えます。
例1．座標空間内の3点、A，B，Cを頂点とする三角形を含む平面と原点Oとの距離を求める。
[解答1]　四面体OABCを三角形OABを底面とし、OCを高さとする四面体とみると、三角形OABの面積は、
四面体OABCの体積Vは、
一方、，
三角形ABCの面積Sは、
求める距離をhとして、より、
......[答]
[解答2]　3点A，B，Cを通る平面のx切片が1，y切片が2，z切片が3であることから、この平面の方程式は、
6をかけて、
これと原点との距離hは、点と平面の距離の公式を用いて、
......[答]
注．解答1で、外積を用いて、とすることもできます。
解答2で、平面の方程式をとおいて、
を通ることから、
を通ることから、
を通ることから、
∴ ，，
よって、平面の方程式は、
をかけて、
とすることもできます。

例2．座標空間内の4点O，A，B，Cを頂点とする四面体の体積を求める。(秋田大 '99年)
[解答]　，

三角形ABCの面積Sは、
　(外積を参照)
Oから三角形ABCに下ろした垂線の足をHとすると、は三角形ABCに垂直なベクトルなので、 // より、とおける。
また、より、
∴
∴
四面体OABCの底面を三角形ABCと見ると、その高さは、
よって、四面体OABCの体積は、
......[答]
注．上記をよく見ると、四面体の体積を求める上で、S，k，hの値を求める必要がないことがわかります。
は底面の三角形ABCに垂直なベクトルでその大きさは三角形ABCの面積Sの2倍なので、ととのなす角をθ として、
は、四面体の高さなので、になっています。

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