対称性

等脚台形ABCDにおいて、AB // CDAD = BCだとします。辺ABの中点をM,辺CDの中点をNとすると、等脚台形ABCDは、直線MNに関して対称です。このとき、 ・・・@ が成り立ちます。
ここで、等脚台形の頂点の名前の付け方を変えて、
ABBAと呼び換え、さらにCDDCと呼び換えたとします。このときにも@は成り立ちます。なぜかと言うと、ABが直線MNに関して対称で、CDが直線MNに関して対称だからです。このような性質を「対称性」と言います。
上記の例では、直線
MNは、対称になる2ABの垂直二等分線になっています。また、直線MNは、対称になる2CDの垂直二等分線になっています。このようなとき、MNの長さがわかったとすると、とすると、ADの長さを求めることができます。ABDCの間に対称性がある、と、わかっていれば、BCに関して詳細を調べずとも、「対称性より」として、としてBCの長さを求めることができます。ADについて成り立つことはBCについても成り立つ、と言えるからです(この対称性を鏡像対称性と言います)

1辺の長さが1の正五角形ABCDEがあるとき、対角線の一つACの長さがとわかったとします。正五角形の頂点の名前の付け方を、BAに、CBに、DCに、EDに、AEに、と代えたとします。元のACEBに代わります。名前を付け替えただけなので、当然です。さらに同じ名前の付け替えを行えば、も言えます。これを繰り返し、一々計算し直さなくても、も言えます。この対称性を回転対称性と言います。正五角形は中心(対角線の交点)の回りに角の回転を行っても同じ図形になるので、上記のようなことが言えます。

xyz空間内に、無数の直線、かつかつかつ (mnklijは整数)が引かれていたとします。さらに直線と直線の交点にx座標、y座標、z座標が整数となる点(格子点と言います)ができます。格子点に隣接する格子点(長さ1の線分を介して隣り合う点)は、6個あります。格子点の並び方は空間内のどこでも均等なので、格子点についても隣接する格子点は6個です。対称性により、格子点についても隣接する格子点は6個です。この対称性を並進対称性と言います。

2文字abでできている式で、文字aのところにbと書き、文字bのところにaと書いた式を考えると、となりますが、なので、式の値は変わりありません。このような式を対称式と言います。3文字の対称式です。は対称式ではありません。だからです。対称式は基本対称式の加減乗除として表せる、という性質があります。



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