証明の技巧　　　　関連問題
命題P：に対して、
命題：を命題Pの逆と言う。
命題：を命題Pの裏と言う。
命題：の対偶と言う。
例1．命題：“” ⇒ “”は真ですが、この命題の逆である命題：“” ⇒ “”は偽です。
となるxは、は満たしますが、は満たしません。

例1のように、ある命題：が真であっても、逆：も真であるとは限りません。
条件cを満たすものの集合をC，条件dを満たすものの集合をDとして、命題：が真であるときですが、だとは限りません。
条件cが満たされていて、条件dが満たされないようなものがあるとき、つまり、のときには、集合の要素(右図×点)が、逆：が偽であることの反例になります。

命題：を証明する場合には、を示しただけでは証明したことになりません。逆：も示してはじめて証明したことになります。

例2．実数x，yに対して、“” ⇔ “”を証明します。
[証明]　であるとき、 ･･･(＊) ですが、x，yが実数のとき、，より、(＊)の左辺かつ(＊)の右辺であって、に限られます。
逆に、のとき、　(証明終)

全体集合をUとします。条件cを満たすものの集合をC，条件dを満たすものの集合をDとして、命題P：が真であるときです。このとき、右図より、です。ということは、命題：(Pの対偶)が真だと言うことです。つまり、
“” ⇔ “”

命題そのものが証明しづらいときに、その命題の対偶を証明するという方法もあります(対偶参照)。

例3．“正の整数nについて、nを5で割った余りが2か3” ⇒ “nは平方数ではない”という命題を証明したいとします。
このままの形で証明しようとすると、またはとおいて証明を始めることになりますが、簡単にはいきません。
もとの命題の対偶は、“nが平方数” ⇒ “正の整数nについて、nを5で割った余りは0か1か4”です。
これだと、0以上の整数kとを用いて、とおくと、
nを5で割った余りは、を5で割った余りに一致します。
を5で割った余りは、に応じて、0，1，4，4，1となるので結論が示せました。
対偶を証明することにより、“正の整数nについて、nを5で割った余りが2か3” ⇒ “nは平方数ではない”という命題を証明したことになります。

「“.......ではない” ⇒ “........ ではない”」という形の命題の証明を考える場合には、対偶を考えるほうが良い場合があります。

“” ⇔ “”を利用した証明法がもう一つあります。
“”において、証明すべき結論dを否定するとになるということは、もとの条件cと矛盾が生ずると言うことです。
従って、証明すべき結論を否定して、与えられた条件と矛盾するということが導ければ、もとの命題を証明したことになります。
この証明法を背理法と言います。

例4．が無理数であることを背理法で証明します。
[証明]　が有理数だとして、互いに素な自然数p，qを用いて、とおけたとします。
分母を払って2乗すると、
これはqが2の倍数であることを意味します。自然数kを用いて、とおくと、

∴
これはpが2の倍数であることを意味しますが、p，qが互いに素であることと矛盾します。
ということは、を既約分数に形に表すことはできないことを意味します。
よって、は無理数です。　(証明終)

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