と
がともにxy平面内のベクトルで、
，
であるとき、
と
とで作る三角形の面積は、
で与えられるので、
と
とで張られる平行四辺形の面積は、
です。
空間内に2個のベクトル
，
があって、
，
が1次独立でないときには、
，
，
が1次独立なときには、
の向きから
の向きまで回る向きを右ねじの回る向きとして、右ねじの進む向きをベクトルの向きとし、
と
とで張られる平行四辺形の面積をベクトルの大きさとするようなベクトルを、
を
と書いて、
，
の外積と言う。
の向き、
の向きのいずれとも垂直です。
から
まで回る右ねじが進む向きは、
から
まで回る右ねじと進む向きが逆になるので、
です。
です。
は、大きさが
でz軸と平行なベクトルです。
から
へと回る向きが、z軸正方向から見て反時計回りのときにはz軸正方向、時計回りのときにはz軸負方向になり、
となります。
は、
という行列の行列式
なので、
と書くことができます。
の場合に当たります。
が上記の外積の定義を満たしていることを確かめておきます。
として、
，
，
は、それぞれ、
と
とで張られる平行四辺形に、x軸，y軸，z軸に平行に光を当てたときに、yz平面，zx平面，xy平面にできる影の面積に符号をつけたものです。この平行四辺形を含む平面πに垂直なベクトル(法線ベクトル)
とx軸，y軸，z軸となす角をα，β，γとすると、
，
，
より、
(これは、
が外積だから言えることではなく、
でないすべてのベクトルについて言えることです。
を方向余弦と言います)
，
，
，
の双方に垂直なベクトルを1つ求める。
，
......[答]
とおいて、
，
を連立しても同様の結果が得られます。
，B
，C
を頂点とする三角形の面積を求める。
，
......[答]
によっても、
となります。| 各問題の著作権は出題大学に属します。 ©2005-2021 (有)りるらる | 苦学楽学塾 随時入会受付中！ 理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、 まず、こちらまでメールをお送りください。 |
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，
であるとき、
と
との外積は、
で、
と
とで張られる平行四辺形の面積Sは、
と
とで作る